Виталий Морозков - Настольная игра «Футбол на бумаге»

На рисунке 8-1приведён пример конструкции. Из данного положения ходят Нижние ворота (Н), хотя для них нет выхода, они «чудесным образом»его находят, и проход к воротам с лёгкостью перекрывается (рис. 8-2).Дело в том, что Нижние ворота (Н) попросту « смухлевали». Из пересечений d 3и c 4исходит нечётное количество рёбер.Этого быть никак не может, т.к. в соответствии с доказанным выше утверждением из пересечений d 3и c 4 должно исходить чётное количество рёбер.Нижние ворота (Н) просто-напростодорисовали «недостающее»ребро ( c 4; d 3), через которое им забивается гол!

5). Дано:симметричное футбольное поле произвольных размеров.

Дать определение:понятия чётных и нечётных пересечений.

5.1.В ФУТБОЛЕ НА БУМАГЕ существует два вида пересечений: тупиковыеи нетупиковые.

Тупиковыминазываются пересечения, в которых можно попасть в тупик. Соответственно нетупиковыминазываются пересечения, в которых нельзя попасть в тупик.

Попасть в тупик можно, если почти все рёбра, исходящие из данного пересечения заняты, т.е. если у данного пересечения осталось только одно незанятое ребро.Пример такого пересечения показан на рисунке 9.

Занявший такое пересечение игрок попадает в «тупик»и по правилам ФУТБОЛА НА БУМАГЕ проигрывает (рис. 10).

Нельзя попасть в «тупик»если у данного пересечения осталось два незанятых ребра.Пример такого пересечения показан на рисунке 11.

Занявший такое пересечение игрок по правилам ФУТБОЛА НА БУМАГЕ должен продолжить ход. Т.о. больше нет возможности сходить в это пересечение, т.к. все исходящие из него рёбра заняты (рис. 12).

Т.о. можно условно обозначить тупиковые пересечения– нечётными, а нетупиковые– чётными.

5.2.Теперь давайте исследуем на чётностьвсе виды пересечений футбольного поля (кроме воротных пересечений– они этим свойством не обладают,т.к. по правилам ФУТБОЛ НА БУМАГЕ, если такое пересечение занято – одна из сторон автоматически проигрывает партию;это особенные пересечения).

В ФУТБОЛЕ НА БУМАГЕ существует семь видов пересечений(они показаны на рисунке 13).

Исследование на чётность:

1 – центр поля ( d 6):

Из этого пересечения делается первый ход, после чего от него отходят семьнезанятых граней (рис. 14).

При дальнейшей игре, заняв центр, нужно от него «оттолкнуться»,т.е. каждый раз будут заниматься две грани: 7:2=2×3+1

Т.е. после трёх прохождений через центрот него будет отходить одна незанятая грань.Если эту грань занять – ты попадёшь в тупик. Таким образом, центр – это нечётное пересечение.

2 – краевые пересечения ( a 3-…- a 9; g 3-…- g 9; b 2; b 10; f 2; f 10):

Поскольку эти пересечения с самого начала игры считаются занятыми,то, сходив в одно из таких пересечений, от него надо «оттолкнуться».После этого от данного пересечения отходит одна грань (рис. 15).

Заняв эту грань – ты попадёшь в тупик.Таким образом, краевые пересеченияявляются нечётными.