Яков Перельман - Загадки и диковинки в мире чисел

Порядок остальных цифр нам известен: 5294… Значит, 21-кратное наше число будет

2352941176470588,

столько именно и получается от сложения кругов цифр при соответственном их расположении. При вычитании числовых колец такого случая, разумеется, быть не может.

Чисел, подобных тем двум, с которыми мы познакомились, существует множество. Все они составляют словно одно семейство, так как объединены общим происхождением – от превращения простых дробей в бесконечные десятичные. Но не всякий период десятичной дроби обладает рассмотренным выше любопытным свойством давать при умножении круговую перестановку цифр. Это имеет место только для тех дробей, число цифр периода которых на единицу меньше знаменателя соответствующей простой дроби. Так, например:

Вы можете убедиться испытанием, что периоды дробей, получающихся от превращения 1/19 и 1/23 в десятичные, обладают теми же особенностями, как и рассмотренные нами периоды дробей 1/7 и 1/17. Если указанное сейчас условие (относительно числа цифр периода) не соблюдено, то соответствующий период дает число, не принадлежащее к занимающей нас семье интересных чисел. Например, 1/13 дает десятичную дробь с шестью (а не с 12) цифрами в периоде:

1/13 = 0,076923.

Помножив на 2, получаем совершенно иное число:

2/13 = 0,153846.

Почему? Потому что среди остатков от деления 1: 13 не было числа 2. Различных остатков было столько, сколько цифр в периоде, т. е. 6; различных же множителей для дроби 1/13 у нас 12, – следовательно, не все множители будут среди остатков, а только 6. Легко убедиться, что эти множители следующие: 1, 3, 4, 9,10, 12. Умножение на эти 6 чисел дает круговую перестановку (076923 × 3 = 230769), на остальные – нет. Вот почему от у получается число, лишь отчасти пригодное для «магического кольца». То же надо сказать и о целом ряде других периодов.

Как бы то ни было, нельзя не согласиться, что длиннейшие периоды бесконечных дробей представляют собою настоящую Калифорнию интереснейших арифметических достопримечательностей.

Арифметические фокусы – честные, добросовестные фокусы. Здесь не стремятся обмануть, не стараются усыпить внимание зрителя. Чтобы выполнить арифметический фокус, не нужна ни чудодейственная ловкость рук, ни изумительное проворство движений, ни какие-либо другие артистические способности, требующие иногда многолетних упражнений. Весь секрет арифметического фокуса состоит в использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями. Кто знает разгадку такого фокуса, тому все представляется простым и ясным; а для незнающего арифметики самое прозаическое действие, например умножение, кажется уже чем-то вроде фокуса.

Было время, когда выполнение даже обыкновенных арифметических действий над большими числами, знакомое теперь каждому школьнику, составляло искусство лишь немногих и казалось остальным людям какою-то сверхъестественною способностью.

В древнеиндусской повести «Наль и Дамаянти» [25] мы находим отголосок такого взгляда на арифметические действия. Наль, умевший превосходно править лошадьми, возил однажды своего хозяина, царя Ритуперна, мимо развесистого дерева – Вибитаки.

И в доказательство своего искусства царь мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну его искусства, и царь соглашается.

Секрет искусства состоял, как можно догадаться, в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножением этого числа на число веток каждого сука и далее на число сучьев дерева (предполагая, что сучья одинаково обросли ветками, а ветки – листьями). Обыкновенное действие умножения казалось незнакомому с ним человеку чем-то загадочным, сверхъестественным.

Разгадка большинства арифметических фокусов столь же проста, как и секрет «фокуса» царя Ритуперна.

Стоит лишь узнать, в чем разгадка фокуса, и вы сразу овладеваете искусством его выполнять, как овладел легендарный Наль изумительным искусством быстрого счета. В основе каждого арифметического фокуса лежит какая-нибудь интересная особенность чисел, и потому знакомство с подобными фокусами не менее поучительно, чем занимательно.