Яков Перельман - Загадки и диковинки в мире чисел

142807 × 8 = (142857 x 7) +142857 =1000000-1 + 142857=1142856

142857 × 9 = (142857 × 7) + (142857 × 2) = 1000000—1+ 285714= 1285713

142857 × 10 = (142857 × 7) + (142857 × 3) = 1000000-1 +428571 = 1428570

142857 × 16 = (142857 × 7 × 2)+ (142857 × 2) =2000000-2 + 285714 = 2285713

142857 × 39 = (142857 × 7 × 5) + (142857 × 4)=5000000– 5 + 571428 = 5571427

Общее правило здесь такое: при умножении 142857 на любой множитель нужно умножить лишь на остаток от деления множителя на 7; впереди этого произведения ставится число, показывающее, сколько семерок в множителе, и то же число вычитается из результата [24] . Пусть мы желаем умножить 142857 на 86. Множитель 86 при делении на 7 дает в частном 12 и в остатке 4. Следовательно, результат умножения

12571428– 12= 12571416.

От умножения 142857 × 365 мы получим (так как 365 при делении на 7 дает в частном 52, а в остатке 1):

52142857-52 = 52142803.

Усвоив это простое правило и запомнив результаты умножения нашего диковинного числа на множители от 2 до 6 (что весьма нетрудно – нужно помнить лишь, с какой цифры они начинаются), вы можете изумлять непосвященных молниеносно быстрым умножением шестизначного числа. А чтобы не забыть этого удивительного числа, запомним, что оно произошло от 1/7, или – что то же самое – от 1/14; вот вам первые три цифры нашего числа: 142. Остальные три получаются вычитанием первых трех из девяти:

Мы уже имели дело с такими числами – именно, когда знакомились со свойствами числа 999. Вспомнив сказанное там, мы сразу сообразим, что число 142857 есть, очевидно, результат умножения 143 на 999:

142857 = 143 × 999.

Но 143= 13 × 11. Припомнив замеченное раньше о числе 1001, равном 7 × 11 × 13, мы будем в состоянии предсказать, не выполняя действия, что должно получиться от умножения 142857 × 7:

142857 × 7 = 143 × 999 × 7 = 999 × 11 × 13 × 7 = 999 × 1001 = 999999

(все эти преобразования мы, конечно, можем проделать в уме).

Только что рассмотренное нами число 142857 является одним из членов целой семьи чисел, обладающих теми же свойствами. Вот еще одно такое число 058823594117647

, причем 0 впереди также относится к этому числу. Если умножить это число, например, на 4, мы получим тот же ряд цифр, только первые 4 цифры будут переставлены в конец:

0588235294117647 × 4 = 2352941176470588.

Расположив цифры этого числа на ряде могущих вращаться колец, как в предыдущем случае, – мы при сложении чисел двух колец будем получать то же число, лишь смещенное в круговом порядке:

При кольцевом расположении все три ряда, конечно, тождественны.

От вычитания чисел двух колец опять-таки получается тот же круг цифр:

Наконец, это число, как и рассмотренное ранее шестизначное, состоит из двух половин: цифры второй половины являются дополнением цифр первой половины до 9. Нетрудно догадаться, каким образом приведенный числовой ряд оказался столь близким родственником числа 142857; если последнее число представляет собою период бесконечной дроби, равной 1/7, то наше число, вероятно, является периодом какой-нибудь другой дроби. Так оно и есть: наш длинный ряд цифр – не что иное, как период бесконечной дроби, получающейся от превращения в десятичную простой дроби 1/17:

1/17 = 0, (0588235294117647).

Вот почему при умножении этого числа на множители от 1 до 16 получается тот же ряд цифр, в котором лишь одна или несколько начальных цифр перенесены в конец числа. И наоборот – перенося одну или несколько цифр ряда из начала в конец, мы тем самым увеличиваем это число в несколько раз (от 1 до 16). Складывая два кольца, повернутых одно относительно другого, мы производим сложение двух умноженных чисел, например, утроенного и удесятеренного – и, конечно, должны получить то же кольцо цифр, потому что умножение на 13 вызывает лишь перестановку группы цифр, незаметную при круговом расположении.

При некотором положении колец получаются, однако, суммы, немного отличающиеся от первоначального ряда. Если, например, мы повернем кольца так, чтобы складывать пришлось шестикратное число с пятнадцатикратным, то в сумме должно получиться число, умноженное на 6 + 15 = 21. А такое произведение, как легко догадаться, составляется уже несколько иначе, чем произведение на множитель меньше 16. В самом деле: так как наше число есть период дроби, равной 1/17, то будучи умножено на 17, оно должно дать 16 девяток (т. е. столько, сколько их в подразумеваемом знаменателе периодической дроби), или 1 с 17 нулями минус 1. Поэтому при умножении на 21, т. е. на 4 + 17, мы должны получить четырехкратное число, впереди которого стоит 1, а от разряда единиц отнято 1. Четырехкратное же число начнется с цифр, получающихся при превращении в десятичную дробь простой дроби 4/17.

Читать дальше