Яков Перельман - Загадки и диковинки в мире чисел

«2,121» в троичной системе 2 + 1/3 + 2/9 + 1/27 = 216/27

«1,011» в двоичной системе 1 + 1/4 + 1/8 = 13/8

«3,431» в пятиричной системе 3 + 4/5 + 3/25 + 1/125 = 3116/125

«2, (5)» в семиричной системе 2 + 5/7 + 4/49 + 5/343 +… = 25/6

В правильности последнего равенства читатель легко может убедиться, если попробует применить к данному случаю, с соответствующим видоизменением, рассуждения, относящиеся к превращению десятичных периодических дробей в простые.

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие феномены, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В витринах подобного музея нашли бы себе место не только числовые исполины, о которых мы побеседуем еще в особой главе, но и числа сравнительно небольшие, выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе интерес и внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве. Приглашаю читателя пройтись со мною по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам уже знакомы. Мы знаем уже, почему попало в арифметическую кунсткамеру число 2:

не потому, что оно первое четное число, а потому, что оно – основание самой удобной системы счисления. Не удивимся мы, встретив здесь 5 – одно из наших любимейших, после десяти, чисел, играющее важную роль при всяких «округлениях», в том числе и при округлении цен, которое обходится нам так дорого.

Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9

– конечно, не как символ постоянства [20] , а как число, облегчающее нам проверку арифметических действий. Но вот витрина, за стеклом которой мы видим

Чем оно замечательно? Конечно, это число месяцев в году и число единиц в дюжине, но что, в сущности, особенного в дюжине? Не многим известно, что 12

– старинный и едва не победивший соперник числа 10 за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока – вавилоняне и их предшественники, еще более древние первонасельники Двуречья – вели счет в 12-ричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам десятичную систему, мы, весьма вероятно, унаследовали бы от Вавилона 12-ричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платимдань 12-ричной системе, несмотря на победу десятичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам, наше деление суток на две дюжины часов, деление часа – на 5 дюжин минут, и минуты – на столько же секунд, наше деление круга на 30 дюжин градусов, наконец, деление фута на 12 дюймов и многие другие пережитки глубокой древности – красноречиво свидетельствуют, как велико еще влияние этой древней системы. Надо ли радоваться тому, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами – живые счетные машины. Если бы не это, то следовало бы, безусловно, отдать предпочтение 12 перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по 12-ричной системе, нежели по десятичной. Причина та, что число 10 делится без остатка только на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 – четыре. Преимущества 12-ричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в 12-ричной системе число, оканчивающееся нулем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6: подумайте, как удобно дробить число, когда и 1/2, и 1/3, и 1/4 и 1/6 его должны быть целыми числами. А если выраженное в 12-ричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144, т. е. на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей – вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в десятичной системе, если оканчиваются двумя нулями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида 1/2, 1/4, 1/5, 1/20 и т. д. превращаются в конечные десятичные; в 12-ричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего дроби: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12, 1/16, 1/18, 1/24, 1/36, 1/48, 1/72, 1/144,

Читать дальше