Яков Перельман - Загадки и диковинки в мире чисел

Эту главу позволю себе начать с задачи, которую я придумал лет пятнадцать тому назад для читателей одного распространенного тогда журнала [17] в качестве «задачи на премию». Вот она:

Загадочная автобиография

В бумагах одного чудака-математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими строками:

«Я окончил курс университета 44-х лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет, – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц» и т. д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?

Решение задачи подсказывается названием этой главы: недесятичная система счисления – вот единственная причина кажущейся противоречивости приведенных чисел. Напав на эту мысль, нетрудно догадаться, в какой именно системе счисления изображены числа чудаком-математиком. Секрет выдается фразой: «Спустя год (после 44-летнего возраста), 100-летним молодым человеком…» Если от прибавления одной единицы число 44 преображается в 100, то, значит, цифра 4 – наибольшая в этой системе (как 9 – в десятичной), а следовательно, основанием системы является 5. Чудаку-математику пришла фантазия написать все числа своей биографии по пятиричной системе счисления, т. е. по такой, в которой единица высшего разряда не в 10, а в 5 раз больше единицы низшего; на первом справа месте стоят в ней простые единицы (не свыше четырех), на втором – не десятки, а пятерки; на третьем не сотни, а «двадцати-пятерки», и т. д. Поэтому число, изображенное в тексте записки «44», означает не 4 × 10 + 4, как в десятичной системе, а 4 × 5 + 4, т. е. двадцать четыре. Точно так же число «100» в автобиографии означает одну единицу третьего разряда в пятиричной системе, т. е. 25. Остальные числа записки соответственно означают

Восстановив истинный смысл чисел записки, мы видим, что в ней никаких противоречий нет:

Я окончил курс 24 лет от роду. Спустя год, 25-летним молодым человеком, я женился на 19-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 6 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет, у меня была уже и маленькая семья из 5 детей. Жалованья я получал 50 рублей, из которых 1/5 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 40 рублей.

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Ничего не может быть легче. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятиричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда:

119: 5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятиричной системе – 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:

23: 5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцати-пятерок») – 4.

Итак, 119 = 4 × 25 + 3 × 5 + 4, или в пятиричной системе «434».

Сделанные действия для удобства располагают

так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Приведем еще примеры.

1) Изобразить 47 в третичной системе:

Ответ: «502». Проверка: 5 × 9 + 0 × 3 + 2 = 47.

2) Число 200 изобразить в семиричной системе:

Ответ: «404». Проверка: 4 × 49+ 0 × 7 + 4 = 200.

3) Число 163 изобразить в 12-ричной системе:

Ответ: «117». Проверка: 1 × 144 + 1 × 12 + 7 = 163.

Думаем, что теперь читатель не затруднится изобразить любое число в какой угодно системе счисления. Единственная помеха может возникнуть лишь вследствие того, что в некоторых случаях не будет доставать изображений для цифр. В самом деле: при изображении числа в системах с основанием более десяти (например, в 12-ричной), может явиться надобность в цифрах, соответствующих числам десять и одиннадцать. Но из этого затруднения нетрудно выйти, избрав для этих новых цифр какие-нибудь условные знаки или буквы, – хотя бы, например, буквы кил, стоящие в русском алфавите на 10-м и 11-м месте. Так, число 1579 в двенадцатиричной системе изобразится следующим образом:

Проверка: 10 × 144 +11 × 12 + 7= 1579.

Вообще нетрудно сообразить, что в каждой системе высшая цифра, какая может понадобиться, равна основанию этой системы без единицы. Например, в десятичной системе высшая цифра 9, в 6-ричной – 5, в троичной – 2, в 15-ричной – 14, и т. д.