Мартин Гарднер: А ну-ка, догадайся!

Парадоксы с «сверхзадачами», выполняемыми так называемыми «машинами бесконечности», и поныне волнуют специалистов по математической логике и философов. Парадокс с лампой известен под названием «лампа Томсона» — в честь впервые написавшего о нем Джеймса Ф. Томсона. Всякий согласится, что лампу Томсона нельзя построить реально, но дело не в этом. Главное в том, что если принять некоторые допущения, то лампа Томсона не приводит к логическим противоречиям. По мнению одних, лампа Томсона — вполне разумный «мысленный эксперимент», по мнению других, — вопиющая нелепость.

Парадокс с лампой Томсона беспокоит наш разум потому, что не существует логической причины, по которой лампу Томсона нельзя было бы бесконечно много раз включить и выключить. Если бегун Зенона успевает за 2 мин преодолеть бесконечно много отрезков дистанции, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, то почему ровно за 2 мин нельзя успеть бесконечно много раз включить и выключить некую реально не существующую идеальную лампу? Но если лампа Томсона может за 2 мин бесконечно много раз перейти из состояния «вкл» в состояние «выкл», то это означает, что существует «последнее» натуральное число, с чем трудно согласиться.

Философ Макс Блэк сформулировал тот же парадокс несколько иначе. Он рассмотрел «машину бесконечности», переводящую шарик из лунки Ав лунку Вза 1 мин, затем возвращающую шарик из лунки Вв лунку Аза 1/2 мин, снова переводящую его из лунки Ав лунку Вза 1/4 мин и т. д., каждый раз вдвое быстрее, чем в предыдущий. Ряд 1 + 1/2 + 1/4… сходится, и все операции по перекатыванию шарика завершаются в течение 2 мин. Но в какой из лунок — в Аили В— окажется шарик по истечении 2 мин?

В какой бы из них он ни оказался, это будет означать что последнее натуральное число либо четно, либо нечетно. Так как последнего счетного числа не существует, то обе возможности, по-видимому, исключаются.

Но если шарика нет ни в лунке А, ни в лунке В, то где же он?

Основные статьи по анализу «сверхзадач» опубликованы в сборнике «Парадоксы Зенона» под редакцией Весли Ч. Солмона. Подробному разбору такого рода парадоксов посвящена книга Адольфа Грюнбаума «Современная наука и парадоксы Зенона» [см. список литературы. — Перев .].

Перед вами сверхзадача, выполненная собакой. В самом начале Фидо находится рядом с хозяином на расстоянии 1 км от Мэри.

Том и Мэри начинают сближаться со скоростью 2 км/ч каждый. Фидо, одинаково любящий хозяина к хозяйку, бегает от одного к другому и обратно со скоростью 8 км/ч. Добежав до хозяина и хозяйки, Фидо мгновенно поворачивается и пускается назад.

Путь Фидо представлен на графике в координатах время — расстояние. Куда будет обращена морда Фидо — к хозяину или к хозяйке, когда Том и Мэри встретятся посредине разделявшего их километрового отрезка?

На этот вопрос, так же как на вопрос о том, будет ли включена или выключена по истечении бесконечной серии манипуляций с выключателем лампа Томсона, невозможно ответить. Но помочь Тому вычислить, какое расстояние пробежала собака, в наших силах…

Том.Сколько пробежал Фидо?

Но чтобы ответить на этот вопрос, мне нужно просуммировать длину бесконечно многих звеньев ломаной! Это очень трудная задача, Мэри!

Мэри.Совсем не трудная, милый! Мы идем со скоростью 2 км/ч. Значит, каждый из нас проходит полкилометра за 15 мин. Так как сначала нас разделяло расстояние 1 км, мы встречаемся через 15 мин.

Мэри.Фидо бегает со скоростью 8 км/ч. За четверть часа он пробегает 2 км. Вот и все.

Том.Здорово! Мне даже не понадобился микрокалькулятор.