Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

В афинных пространствах над алгебрами с делителями нуля имеются смежные точки и смежные и расходящиеся прямые линии. Две точки А и В называются смежными, если вектор АВ особенный. Две прямые линии называются смежными, если они содержат смежные точки. Две прямые линии называются расходящимися, если они не имеют общих точек, но могут быть переведены параллельным переносом в смежные прямые линии.

Проективное пространство над алгеброй является результатом дополнения аффинного пространства бесконечно удаленными и идеальными точками, причем каждая система параллельных линий имеет одну общую бесконечно удаленную точку, а идеальные точки, которые имеются только в случае алгебр с делителями нуля, определяются смежными прямыми. Точки n-мерного проективного пространства представляются векторами (n + 1)-мерного аффинного пространства с точностью до правых скалярних множителей. Прямые линии и m- мерные плоскости проективного простраства представляются 2-мерными и (m+1) -мерными подпространствами линейного пространства или подмодулями модуля.

Так как бесконечно удаленные точки, которыми дополнено аффинное пространство, представляются векторами m-мерного линейного подпространства или подмодуля, эти бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную гиперплоскость проективного пространства. Идеальные точки представляются векторами, определяющими прямые смежные с прямыми, которые определяются векторами, представляющими бесконечно удаленные точки.

Проективные преобразования имеют вид x'=Af(x), где А - линейный оператор (n + 1)-мерного линейного пространства или модуля, а f(x) - автоморфизм алгебры.

Гиперплоскости, т.е. (n-1)-мерные плоскости аффинных и проективных пространств, определяются соответственными уравнениями ux+v=0 и ux=0, где u - ковектор линейного пространства или модуля, т.е. вектор пространства или модуля, сопряженного с рассматриваемым. В случае проективного пространства ковектор u определен с точностью до левых скалярных множителей, на этом основан принцип двойственности проективного пространства.

Если в аффинном пространстве над коммутативной алгеброй определено скалярное произведение векторов (a,b)=(b,a), т.е. скалярный квадрат (а,а) является квадратичной формой, мы получаем квадратичное евклидово или псевдоевклидово пространство.

Если в алгебре имеется инволюция, т.е.такой переход от всякого элемента х к элементу х*, что (х*)* =х и (xy)* =y*x*, и в аффинном пространстве над этой алгеброй определено скалярное произведение (a,b) = (b,a)*, т.е. скалярный квадрат является эрмитовой формой, мы получаем эрмитовы евклидовы и псевдоевклидовы пространства.

Если такие же скалярные произведения векторов определены в проективном пространстве над коммутативной алгеброй или над алгеброй с инволюцией, мы получаем квадратичные и эрмитовы неевклидовы пространства, т.е. эллиптические, гиперболические, псевдоэллиптические и псевдогиперболические пространства.

Если скалярное произведение таково, что (a,b)= -(b,a) или (a,b)=- (b,a)*, то мы получаем квадратичное или эрмитово симплектическое пространство.

Геометрия пространств с делителями нуля в значительной степени разработана в моих книгах 1955 и 1997 гг., а также в работах моих учеников.

Вещественные пространства и многообразия

В случае вещественного евклидова пространства скалярный квадрат (а,а) является положительно определенной квадратичной формой, а в случае вещественного псевдоевклидова пространства (а,а) - знаконеопределенная квадратичная форма, и если индекс этой формы равен k, псевдоевклидово пространство называется пространством индекса k. Пространство-

время специальной теории относительности является 4-мерным псевдоевклидовым пространством индекса 1.

Расстоянием между точками A и В называется квадратвый корень из склярного квадрата (а,а) вектора а = AB. Преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между их точками, называются движениями. Движения этих пространств являются частными случаями их аффинных преобразований.

Вещественное эллиптическое пространство (неевклидово пространство Римана) размерности n можно определить как гиперсферу (x,x)=r2 с отождествленными диаметрально противоположными точками в (n + 1)- мерном евкидовом пространстве. Роль прямых линий и m-мерных плоскостей эллиптического пространства играют большие круги и большие m-мерные сферы гиперсферы. Движения эллиптического пространства определяются вращениями гиперсферы.