Борис Кушнер - Учитель

Вообще, оглядываясь на динамику кризиса оснований математики, можно заметить аналогию с событиями в литературе, искусстве. И там были различного рода реакции на романтизм, порою весьма резкие. Кого только не сбрасывали с кораблей современности. При взгляде с расстояния времени видно, что и сами такие течения (жизнеспособные, художественно значимые из них) обретали собственную романтику…

Лютцен Брауэр

В 20-м веке было три главных конструктивных направления (перечисляю их хронологически): так называемый интуиционизм, основанный голландским математиком Лютценом Брауэром (Brouwer, Luitzen Egbertus Jan 1881–1966), конструктивная математика А.А. Маркова, Мл. и конструктивная математика американского математика Эррета Бишопа (Bishop, Errett 1928–1983).

Все три конструктивных школы разделяли резкую критику платонистской онтологии теоретико-множественной математики (иногда по контрасту с новыми течениями называемой классической). Критика эта, решающая роль в формулировках которой принадлежит Брауэру, в частности отвергала идею актуальной бесконечности, неограниченной применимости законов традиционной логики, особенно закона исключённого третьего, метафизический надсубъективный статус математических объектов. Сами эти объекты рассматривались как результаты интеллектуальной или фактической деятельности человека, а не как нечто существующее вечно и само по себе. Каждое течение развило собственное мировоззрение и строило математику, следуя таковому. При многом общем, имелись существенные философские и конкретные различия. Мы не можем здесь углубляться в эту проблему. Боюсь, я уже отпугнул многих читателей, приоткрыв дверь (или, приподняв крышку ларца Пандоры?) в опасную страну Оснований Математики [51] Заинтересованный читатель может подробнее прочесть обо всём этом во введении к моей книге «Лекции по конструктивному математическому анализу», Наука, М., 1973 (существует английский перевод: B.A. Kushner, Lectures on Constructive Mathematical Analysis, AMS, Providence, Rhode Island, 1984). Не предполагает особой подготовки и моё эссе «Марков и Бишоп», Вопросы Истории Естествознания и Техники, № 1, 70–81, 1992 (опубликована также английская версия этой работы B.A.Kushner, Markov and Bishop, Golden Years of Moscow Mathematics, S. Zdravkovska, P. Duren, AMS-LMS, Providence, Rhode Island, 179–197, 1993). Более специальный характер носят мои статьи «Принцип бар-индукции и теория континуума у Брауэра», Закономерности развития современной математики, Наука, М., 230–250, 1987, «Арендт Гейтинг: Краткий очерк жизни и творчества», Методологический анализ оснований математики, Наука, М., 121–135, 1988, B.A. Kushner, Markov’s Constructive Analysis: a participant’s view, Theoretical Computer Science, vol. 219, 267–285, 1999. . Скажу только ещё несколько слов о конструктивной математике Маркова.

Вероятно корни марковского конструктивного мировоззрения лежат в его опыте естествоиспытателя, тяготеющего к осязаемости получаемых результатов, и в общей независимости его личности, не готовой автоматически следовать установившимся канонам, подвергающей их анализу и отклоняющей, если каноны этого анализа не выдерживают.

Объектом изучения в марковской математике являются конструктивные объекты и конструктивные процессы, выполняемые с этими объектами. Для всех реальных целей этой математики вполне достаточно одного общего типа конструктивных объектов — слов в алфавите. При этом, разумеется, принимаются некоторые идеализирующие соглашения, коротко говоря, допускается наша способность опознавать буквы, слова как графически одинаковые или различные. Таким образом, мы можем говорить, например, о букве «а» русского алфавита, отвлекаясь от различий в реальных появлениях этого знака в словах, которые мы пишем или печатаем. Каждый, кто сталкивался с документами, написанными плохим почерком или даже просто с печатными (не говорю уж о рукописных) текстами в готике, понимает, что здесь идёт речь именно об идеализации. С другой стороны, наша способность читать, распознавать графемы лежит в самой основе интеллектуальной деятельности человека. Целые числа, очевидно, можно трактовать как слова в алфавите, который мы видим на клавиатуре нашего компьютера, то же самое можно сказать и о рациональных числах. Скажем, 2/3, очевидно, слово. О том, как распространяется этот подход на «высшую математику», можно прочесть в уже упоминавшейся (примечание 52) моей монографии.

В центре конструктивной математики Маркова находится также точное понятие алгорифма. Несколько огрубляя ситуацию, можно сказать, что алгорифмы — это компьютерные программы. Сами же компьютеры имеют возможность наращивать по мере необходимости память и потенциально не ограничены во времени выполнения программ. Точные понятия алгорифма были выработаны в математике в тридцатых годах 20-го века, и характерно, что случилось это в недрах именно оснований математики, в ходе работ по преодолению кризиса этих оснований. Андрей Андреевич включился в эту работу сразу после войны, когда и начался его «конструктивный период». Впрочем, в частных беседах А.А. говорил, что имел ясно выраженные «конструктивные» наклонности много раньше. А.А. Маркова, Мл. можно смело считать одним из пионеров теории алгорифмов и компьютерных наук, информатики (Computer Science). Им было предложено одно из ведущих современных точных понятий алгорифма (нормальные алгорифмы Маркова) и написана ставшая уже классической монография [52] А.А. Марков, Теория алгорифмов, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В.А. Стеклова, т. 42, 1954. См., также цитированные выше два издания одноименной монографии Маркова и Нагорного. , содержащая первое в математической практике строгое изложение теории слов и доказательства правильности работы тех или иных алгорифмов. Помимо прочего, это предвосхищало ряд современных направлений в информатике.