БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ПФ)

таких, что уравнение (1) является следствием их и соотношений df 1 = 0, df 2= 0, ..., df m = 0. Соотношения (2) определяют интегральное многообразие П. у. (1). Если через каждую точку n -мерного пространства x 1 , x 2 , ..., x n проходит ( n — 1)-мерная интегральная гиперповерхность, т. е. если уравнение (1) интегрируется одним соотношением, содержащим одну произвольную постоянную, то оно называется вполне интегрируемым.

В случае трёх независимых переменных х, у, z П. у. может быть записано в виде

Pdx + Qdy + Rdz = 0, (1’)

где Р = Р ( х , у , z ), Q = Q ( х , у , z ), R = R ( х , у , z ). Геометрически решение уравнения (1’) означает нахождение кривых в пространстве х , у , z , ортогональных в каждой своей точке векторному полю { Р , Q , R }, т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (1’). Если задать одно соотношение Ф ( х , у , z ) = 0 произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой поверхности, то из уравнения (1’) и соотношения

находятся, например, dy / dx и dz / dx как функции х , у , z , и задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее, находят двупараметрическое семейство кривых, из которого выделяют однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения (1'), лежащих на заданной поверхности Ф ( х , у , z ) = 0. Это семейство интегральных кривых может рассматриваться как пересечение заданной поверхности и однопараметрического семейства поверхностей Ф 1( х , у , z , с ) = 0, т. е. общее решение П. у. (1') состоит из двух соотношений Ф ( х , у , z ) = 0 и Ф 1( х , у , z , с ) = 0, из которых первое произвольно, а второе определяется по первому. П. у. (1') интегрируется одним соотношением F ( х , у , z , с) = 0, т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости

тождественно относительно х , у , z. Геометрически это значит, что существует однопараметрическое семейство интегральных поверхностей П. у. (1’), ортогональных в каждой точке векторному полю { Р , Q, R }. Любая кривая на интегральной поверхности является интегральной кривой П. у. (1’).

Теория П. у. обобщена на случай систем П. у., играющих особо важную роль в приложениях. П. у. и системы П. у. встречаются в механике неголономных систем, т.к. неголономные связи суть П. у. между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.

Лит.: Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. — Л. ,1947; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Goursat Е., Leçons sur le problème de Pfaff, P., 1922.

Пфе'йфер(Pfeiffer) Рихард (27.3.1858, Здуны, Польша, — 15.9.1945, Бад-Ландек, ныне Лёндек-Здруй, Польша), немецкий бактериолог, иммунолог и гигиенист. Ученик и сотрудник Р. Коха (1887—1891). Профессор института инфекционных болезней в Берлине (1894), института гигиены в Кенигсберге (1899) и Бреславле (1909—26). Основные труды посвящены гриппу, малярии, брюшному тифу, холере, чуме и др. болезням, проблемам иммунитета, общей гигиене. Совместно с русским врачом В. И. Исаевым открыл (1894) бактериолиз холерных вибрионов под влиянием специфической иммунной сыворотки. Доказал, что лизины образуются и в убитых культурах.

Пфе'нниг(нем. Pfennig), разменная германская монета, впервые появилась в 8 в. С 1871 после введения марки в качестве единой денежной единицы Германии П. стал равняться 1/ 100марки. Чеканился из серебра, бронзы и никеля. В 1924 с объявлением денежной единицей рейхсмарки П. получил название рейхспфеннига; чеканился из бронзы. В 1948, после сепаратной денежной реформы в Западной Германии и в ответ на неё денежной реформы в Восточной Германии, все старые П. были изъяты из обращения. Были выпущены новые П. соответственно равные 1/ 100 марки ГДР (чеканятся из алюминия) и 1/ 100 марки ФРГ (чеканятся из меди и железа).