БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ПО)

Э. Г. Позняк.

Рис. 1 к ст. Поверхностей теория.

Рис. 2 к ст. Поверхностей теория.

Рис. 3 к ст. Поверхностей теория.

Пове'рхности враще'ния, поверхности, образуемые вращением плоской кривой вокруг прямой (оси П. в.), расположенной в плоскости этой линии. Примером П. в. может служить сфера (которую можно рассматривать как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг её диаметра). Линии пересечения П. в. с плоскостями, проходящими через её ось, называется меридианами; линии пересечения П. в. с плоскостями, перпендикулярными оси, — параллелями. Если по оси П. в. направить ось Oz прямоугольной системы координат Oxyz, то параметрическое уравнения П. в. можно записать следующим образом:

x = f ( u ) cosu, y = f ( u ) sinu, z = u.

[здесь f ( u ) — функция, определяющая форму меридиана, а u — угол поворота плоскости меридиана].

Пове'рхности второ'го поря'дка, поверхности, декартовы прямоугольные координаты точек которых удовлетворяют алгебраическому уравнению 2-й степени:

a 11 x 2+ a 22 y 2+ a 33 z 2+ 2 a 12 xy + 2 a 23 yz + 2 a 13 xz + 2 a 14 x + 2 a 24 y + 2 a 34 z + a 44= 0 (*)

Уравнение (*) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую П. в. п. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (*) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из 17 приведённых ниже канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс П. в. п. Среди них выделяют пять основных типов поверхностей. Именно,

1) эллипсоиды

— эллипсоиды,

— мнимые эллипсоиды;

2) гиперболоиды:

— однополостные гиперболоиды,

— двуполостные гиперболоиды;

3) параболоиды ( p > 0, q > 0):

— эллиптические параболоиды,

— гиперболические параболоиды;

4) конусы второго порядка:

— конусы,

— мнимые конусы;

5) цилиндры второго порядка:

— эллиптические цилиндры,

— мнимые эллиптические цилиндры,

— гиперболические цилиндры,

— параболические цилиндры.

Перечисленные П. в. п. относятся к т. н. нераспадающимся П. в. п.; распадающиеся П. в. п.:

— пары пересекающихся плоскостей,

—пары мнимых пересекающихся плоскостей,

х 2 = а 2 — пары параллельных плоскостей,

х 2 = —а 2 — пары мнимых параллельных плоскостей,

х 2 = 0 — пары совпадающих плоскостей.

При исследовании общего уравнения П. в. п. важное значение имеют т. н. основные инварианты — выражения, составленные из коэффициентов уравнения (*) и не меняющиеся при параллельном переносе и повороте системы координат. Например, если