БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (УР)

в области действительных чисел и четыре решения: x 1 = , x 2 = – , x 3 = i , x 4 = – в области комплексных чисел. У. sin x = 0 имеет бесконечное множество решений: x k = k p ( k = 0, ± 1, ± 2,...) в области действительных чисел. Если У. имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М. Например, У. х = является тождеством в области неотрицательных чисел и не является тождеством в области действительных чисел.

Совокупность У., для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., называется системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У. системы, – решениями системы. Например, х + 2 y = 5 , 2 x + у – z = 1 является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является х = 1 , у = 2 , z = 3.

Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением др. системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения ) . Например, У. х – 4 = 0 и 2 x – 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих У. является лишь х = 4. Всякая система У. равносильна системе вида f k( x 1 , x 2 ,..., х п) = 0, где k = 1, 2,... Процесс разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (см. Посторонний корень ) .

Например, возводя в квадрат У. , получают У. x - 3 = 4, решение которого х = 7 является посторонним для исходного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.

Наиболее изучены У., для которых функции f kявляются многочленами от переменных x 1 , x 2 ,..., х п , – алгебраические У. Например, алгебраическое У. с одним неизвестным имеет вид:

a 0 x n + a 1 x n-1 +... + a n= 0 ( a 0¹ 0); (*)

число n называется степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра, Кардано формула ) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель, 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория ) .

Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если a – решение У. (*), то многочлен a 0 x n + a 1 x n-1 +... + a n делится на х – a . Если он делится на ( х – a) k , но не делится на ( х – a) k+1, то решение a имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n .

Если f ( x ) – трансцендентная функция, то У. f ( x ) = 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение ) , причём в зависимости от вида f ( x ) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.

Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых f k суть многочлены первых степеней относительно x 1 , x 2 ,..., х п(см. Линейное уравнение ) .

Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант ) .

Читать дальше