Ким Хо - О чем говорят цифры. Как понимать и использовать данные

В 1973 году в разделе «Советы читателям» газеты Dear Abby появилась такая заметка [46]:

Dear Abby, в вашей колонке написано, что женщина вынашивает ребенка 266 дней. Кто вам это сказал? Я вынашивала своего ребенка десять месяцев и пять дней; в этом не может быть сомнений, поскольку я точно знаю, когда он был зачат. Мой муж – флотский офицер, и ребенок не мог быть зачат в другой день, поскольку я видела своего мужа всего лишь в течение часа и в следующий раз мы встретились уже после рождения ребенка. Я не пью и не гуляю с мужчинами, поэтому отцом ребенка может быть только мой муж. Пожалуйста, напечатайте опровержение этой заметки насчет 266 дней, иначе у меня будут большие неприятности.

В ответной заметке газета постаралась ободрить читательницу, но о сроках беременности было написано немного.

Дорогая читательница! Средний период беременности действительно составляет 266 дней. В некоторых случаях дети рождаются недоношенными, а в некоторых – переношенными. В вашем случае ребенок родился переношенным.

Если бы газета уделила больше внимания количественной стороне вопроса, то в ответной заметке содержалось бы больше чисел. Последние всегда более убедительны, а в данном случае речь идет об относительно простой проблеме, связанной с теорией вероятности. Рассмотрим ее в рамках стандартного шестишагового подхода к проблеме количественного анализа.

Формулирование проблемы. В данном случае вопрос не в том, что ребенок родился переношенным, это и так понятно. Десять месяцев и пять дней – это примерно 310 дней, что существенно больше среднего срока беременности в 266 дней, о котором упоминала газета. Вопрос в том, насколько нетипичен этот случай (или какова его вероятность). Достаточно ли он нетипичен, чтобы заподозрить женщину во лжи?

Изучение предыдущих поисков решения. Мы можем с уверенностью предположить, что распределение продолжительности беременности является нормальным (то есть график распределения напоминает колокол). Вероятность того, что беременность будет продолжаться 310 дней, легко рассчитать с помощью Z-критерия (количество стандартных отклонений от среднего значения) для нормального распределения, что является азбукой статистических расчетов.

Моделирование (выбор переменных). Вероятность того, что беременность может длиться по крайней мере 310 дней.

Сбор данных (измерения). Имеющиеся данные позволяют сделать вывод о том, что среднее значение продолжительности беременности составляет 266 дней со стандартным отклонением 16 дней.

Анализ данных. Если средняя продолжительность беременности составляет 266 дней со стандартным отклонением 16 дней, то вероятность ее продолжительности в 10 месяцев и пять дней (300 и более дней) составляет 0,003 (если принять, что распределение нормальное).

Результаты и необходимые меры. Это значит, что три ребенка из тысячи рождаются более чем через 300 дней после зачатия. Казалось бы, вероятность очень невелика, но только не в случае больших чисел. В Америке ежегодно рождается около четырех миллионов детей. Соответственно, около двенадцати тысяч из них рождаются с таким большим опозданием. Видимо, Dear Abby стоило написать нечто вроде следующего: «Каждый год в США со столь большим запозданием рождаются примерно двенадцать тысяч детей, и одним из них стал ваш ребенок». Это успокоило бы не только читательницу, но и ее мужа.

В статистическом тестировании гипотез рассчитанное выше значение вероятности 0,003 называется р-значением , что равно вероятности получения данного значения критерия (в данном случае Z-значения , равного 2,75) в предположении, что нулевая гипотеза истинна. В данном случае нулевая гипотеза ( Н0 ) звучит следующим образом: «Отцом ребенка является муж». В стандартной методике проверки гипотез нулевая гипотеза отбрасывается как ложная, если р-значение меньше уровня значимости. В данном случае р-значение равно 0,003, а это значит, что нулевая гипотеза будет отброшена, даже если уровень значимости составит 1 процент. Вообще говоря, мы должны были бы отбросить гипотезу об отцовстве мужа читательницы. Как можно объяснить этот ошибочный результат проверки гипотезы? Это типичный пример ошибки первого вида (или ошибки альфа), когда отклоняется нулевая гипотеза ( Н0 ) при ее истинности. Этот пример показывает, что жизнь может не укладываться в рамки теории вероятности.