Александр Александров - Цифровые методы анализа будущего

δ = am – kb

Δ = (amr + bno + kcp) – (omc + kbr + anp)

Для того чтобы вы смогли запомнить данные формулы, запишем способы их составления и запоминания.

Итак, δ = am – kb.

Обратите внимание на буквы, входящие в формулу, и на матрицу. Хорошо видно, что все четыре буквы сами составляют квадратную матрицу, только 2×2. Выпишем ее отдельно:

Теперь мы можем записать, что малый определитель равен разности между произведениями чисел первой и второй диагоналей, где:

первая диагональ – это числа a, m,

вторая диагональ – это числа k, b,

что позволяет записать формулу: δ = am – kb.

Для запоминания формулы вычисления большого определителя

Δ = (amr + bno + kcp) – (omc + kbr + anp)

нам потребуется знание правила «треугольников», которое выглядит следующим образом. На числах матрицы 3×3 зарисовывают треугольники, вершины которых показывают, какую тройку чисел мы должны перемножить друг с другом:

положительные тройки чисел

отрицательные тройки чисел

геометрические зарисовки треугольников (или троек чисел).

Обратите внимание на то, что треугольники выбирают так, что одна из сторон должна быть параллельна одной из диагоналей матрицы, тогда вершины треугольников укажут нужные тройки чисел, включая тройки чисел диагоналей.

Теперь запишем тройки произведений чисел:

Настало время объяснить, для чего же нам понадобились эти самые определители. Начнем с того, что после всех расчетов по формулам мы обнаружим, что каждый из определителей – всего лишь число, которое может соответствовать одному из возможных вариантов:

– малый определитель δ может быть: δ > 0, δ < 0 или δ = 0;

– большой определитель Δ может быть: Δ ≠ δ или Δ = 0.

Так как малый определитель для различных матриц может принимать три разных значения, а большой определитель мы учитываем только в двух вариантах, тогда совместное их использование дает нам всего шесть возможных вариантов их сочетания, что полностью совпадает с числом линий второго порядка, которые мы рассматривали в предыдущей главе.

Проще говоря, данные определителей дают возможность определить вид кривой второго порядка, которая задается данной конкретной матрицей.

Обратите внимание! Мы имеем полное право использовать данную классификацию даже в отношении произвольных матриц, так как мы не будем графически строить данные кривые, нас будет интересовать только вид кривой. Из курса алгебры хорошо известно, что любые преобразования элементов матрицы не меняют знака определителя и не способны изменить его значения, если определитель равен нулю, что для нас важно и абсолютно достаточно.

Извините, последнее замечание весьма важное, так как профессиональные математики могут на нас серьезно рассердиться, поскольку в теории матриц кривых второго порядка есть существенные ограничения на числа, входящие в данные матрицы. Однако наше замечание полностью устраняет данные препятствия, делая наш метод научным, а не «хитрой придумкой без основ».

Вы уже обратили внимание на некоторые неудобства и трудности (нужна предельная внимательность в записях чисел) при расчете большого определителя (Δ). Согласитесь, что данный расчет отнимает много времени, да и глаза устают искать нужные цифры в матрице.

Однако тем и хороши математики, что, придумав заморочку, всегда находят более легкие пути ее обхода. Именно поэтому спешу вам сообщить, что существует несколько достаточно простых правил (способов), помогающих с одного взгляда, без утомительных расчетов сказать, что данный большой определитель равен нулю ( Δ = 0). Заметим, что все правила применимы и к малому определителю. Итак,

Правило 1

Если в матрице имеется нулевая строка или нулевой столбец (состоят из одних нулей), то большой определитель равен нулю Δ=0.

Правило 2