Апостолос Доксиадис - Дядюшка Петрос и проблема Гольдбаха

Я свалился с приятных высот.

– Как это – сколько?

– Сколько их? Вас этому в школе не учат?

– Нет.

Дядя глубоко вздохнул, разочарованный уровнем математического образования в современной Греции.

– Ладно, я тебе это расскажу, потому что тебе это понадобится. Множество простых чисел бесконечно – факт, доказанный Евклидом в третьем веке до нашей эры. Его доказательство – жемчужина красоты и простоты. Используя метод reductio ad absurdum [3] , он сперва предполагает обратное тому, что хочет доказать, а именно, что множество простых чисел конечно. Далее…

Несколько энергичных движений карандаша по бумаге, скупые пояснительные слова – так дядя Петрос изложил мне доказательство нашего мудрого предка, одновременно дав первый в моей жизни образец настоящей математики.

– …что, однако, противоречит нашему исходному допущению, – заключил он. – Предположение конечности привело к противоречию, ergo [4] , множество простых чисел бесконечно. Quod erat demonstrandum [5] **.

– Дядя, это просто фантастика! – воскликнул я, восхищенный остроумием доказательства. – Это так просто!

– Да, просто, – вздохнул он, – но никто до Евклида этого не придумал. Вот тебе и мораль: некоторые вещи кажутся простыми только тогда, когда они уже сделаны.

Но у меня не было настроения философствовать.

– Давай теперь, дядя, сформулируй задачу, которую я должен решить!

Он сперва записал ее на листе бумаги, а потом прочел мне вслух.

– Я хочу, чтобы ты попытался доказать, что любое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел.

Я минутку подумал, лихорадочно молясь, чтобы на меня тут же снизошло озарение. Поскольку этого не случилось, я спросил:

– И это все?

Дядя Петрос предостерегающе помахал пальцем в воздухе.

– Э, задача не так уж проста! В каждом частном случае, который можно рассмотреть, например, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 10 = 3 + 7, 12 = 7 + 5, 14 = 7 + 7 и т.д. – это очевидно, хотя чем больше число, тем больше приходится вычислять. Но поскольку четных чисел – бесконечное множество, перебирать их по одному невозможно. Ты должен найти общее доказательство этого факта, и я боюсь, это окажется труднее, чем ты думаешь.

Я встал:

– Трудно или нетрудно, а я это сделаю! И собираюсь начать прямо сейчас.

Я уже шел к воротам, когда он окликнул меня из кухни:

– Эй, ты лист с задачей не возьмешь?

Дул холодный ветер, от влажной земли поднимался аромат. Никогда в жизни – ни до, ни после этого краткого мига – не чувствовал я себя таким счастливым, таким исполненным надежд, предвкушений и радостного ожидания.

– Он мне не нужен, дядя, – отозвался я. – Отлично все помню: «Каждое четное число, большее 2, является суммой двух простых чисел». Первого октября покажу тебе решение!

Его суровое напоминание настигло меня на улице:

– Не забудь наш уговор! Только если ты решишь задачу, можешь становиться математиком!

Меня в этот год ждало трудное лето.

К счастью, родители всегда отправляли меня на жаркие месяцы – июль и август – в Пилос, к дяде со стороны матери. Это значило, что я, будучи вне досягаемости отца, хотя бы не имел дополнительной проблемы (будто мне не хватало той, что поставил дядя Петрос) – вести работу втайне. Приехав в Пилос, я сразу разложил бумаги на столе в столовой (летом мы всегда обедали на улице) и сообщил кузенам, что до дальнейших извещений прошу не приставать ко мне с глупостями вроде плавания, игр или походов в летний кинотеатр. Я трудился над задачей с утра до ночи почти без перерывов.

Моя тетя, добрая женщина, добродушно причитала:

– Милый мальчик, ты слишком много работаешь. Сейчас ведь каникулы, отложи хоть ненадолго книги. Ты же отдыхать приехал.

Но я твердо решил не отдыхать до окончательной победы. Я сидел за столом, не разгибая спины, и исписывал лист за листом, подходя к задачке то так, то этак. Иногда, усталый настолько, что абстрактно-дедуктивные рассуждения мне больше не давались, я начинал проверять конкретные числа на случай, если дядя Петрос поставил мне ловушку, попросив доказать утверждение заведомо неверное. После бесконечных делений я сделал таблицу нескольких сотен первых простых чисел (примитивное самодельное решето Эратосфена [6]) и складывал их по всем возможным парам, проверяя, работает ли принцип. Напрасно я искал в этих рамках четное число, для которого не выполнялось бы утверждение задачи: все как один выражались в виде суммы двух простых.