Реальный (созданный) мир конечен, невещественный же мир бесконечен. Если б сошлись параллельные линии, кончился бы закон мира сего. Но в бесконечности они сходятся, и бесконечность есть несомненно. Ибо если б не было бесконечности, не было бы и конечности, немыслима бы она была. А если есть бесконечность, то есть Бог и мир другой, на иных законах, чем реальный (созданный) мир»19 .
Этот отрывок имеет непосредственное отношение к теме математики в творчестве Достоевского. Если Иван доказывает небытие Бога, то здесь делается обратная попытка — математического обоснования бытия Бога.
Самое важное утверждение последнее: «...если есть бесконечность, то есть Бог и мир другой, на иных законах, чем реальный (созданный) мир». Это вывод, который Достоевский пытается обосновать.
Необходимо здесь уточнить понятие «бесконечность». Со времени парадоксов Зенона Элейского (знаменитых «Ахиллес и черепаха», «Стрела» и других) и того ответа, который дал на них Аристотель, стало понятно, что к бесконечности может быть два совершенно разных подхода. Первый — это домашняя, вполне осязаемая, или «потенциальная», бесконечность, которая выражается как неограниченное возрастание. К любому сколь угодно большому натуральному числу мы всегда можем прибавить единицу. Натуральный ряд неограниченно растет, но набор чисел, который мы имеем в наличии, всегда конечен. Аристотель настаивал на том, что только такая бесконечность и возможна. «Актуальная бесконечность» — взятая сразу как дерево или дом — как единая вещь, такая бесконечность внутренне противоречива. Собственно, Зенон это и продемонстрировал своим рассуждением о точке: отрезок никогда не может состоять из бесконечного числа точек — если точка не имеет размера, то, сколько бы мы ни складывали нуль с нулем, мы никогда не получим конечное число, если точка имеет размер — какой угодно малый, то бесконечное множество точек всегда имеет бесконечный размер, и опять-таки конечный отрезок мы не получим. Аристотель предложил рассматривать отрезок как неограниченно делимый: мы можем разделить любую его часть пополам, но всегда будем иметь в наличии только конечное число частей отрезка. Если Достоевский пишет: «Ибо если б не было бесконечности, не было бы и конечности, немыслима бы она была», — то Аристотель утверждал, что прямая в полном согласии с принципом потенциальной бесконечности — это неограниченно продолжаемый конечный отрезок. То есть бесконечная прямая была бы немыслима, если бы не было конечного отрезка. Но точка зрения Достоевского тоже имеет солидную традицию. Конечное как часть бесконечного (а не наоборот, как у греков) впервые предложил рассматривать Николай Кузанский. Он исследовал актуальную бесконечность и, в частности, нашел такое ее свойство — собственная часть бесконечного множества может быть равна (или равномощна) целому. Например, если от бесконечного множества отнять любое конечное множество (хотя бы и такое большое, но конечное число элементов, как квадриллион в квадриллионной степени), мощность бесконечного множества не изменится. Это свойство только бесконечных множеств — для конечных оно очевидно неверно: в геометрии Евклида даже есть соответствующая аксиома — «часть меньше целого». Актуально-бесконечные множества обладают другими, парадоксальными или абсурдными, с точки зрения конечного мира, свойствами.
Математики по-разному относились к актуальной бесконечности. Как правило, если это было возможно, они пытались ее избегать. Но с того момента, как начал развиваться анализ, все исчисление бесконечно малых — и дифференцирование, и интегрирование — уже оперирует актуально бесконечными множествами бесконечно малых отрезков. Это такие отрезки, которые, с одной стороны, имеют бесконечно малую длину (или меру), а, с другой стороны, их бесконечное суммирование дает конечное число. То есть это объекты, похожие на точки Зенона, но только он отказывался их признавать, а математики их приняли. Причем поначалу безо всякого строгого обоснования. Просто сказали: мы так будем считать — видите, получается правильно, значит, так можно.
В XIX веке ситуация стала уже критической, и несколько математиков предприняли попытку разобраться с тем, что же такое бесконечное множество. Одним из этих математиков был Георг Кантор. Ему принадлежит разработка теории множеств, которая легла в основу всего современного здания математики.
Читать дальше
