Марио Ливио - Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса

Рис. 28

Здесь Ньютон ссылается на свой важный вывод (из законов движения планет Кеплера), что гравитационное притяжение двух сферических тел меняется обратно пропорционально расстоянию между ними. Иначе говоря, если бы расстояние между Землей и Луной утроилось, сила тяготения, которая действовала бы на Луну, оказалась бы в девять раз (три в квадрате) меньше.

По не вполне понятным причинам Ньютон, в сущности, отложил сколько-нибудь серьезные исследования гравитации до 1679 года [75] Исследование причин, по которым Ньютон так долго не публиковал закон всемирного тяготения, см. в Cajori 1928 и Cohen 1982. В следующем разделе мы рассмотрим два самых убедительных, по моему мнению, предположения о том, каковы могли быть эти причины. . Затем он получил два письма от своего злейшего врага Роберта Гука, которые оживили в нем затухший было интерес к динамике в целом и к движению планет в частности. А пробудившееся любопытство привело к колоссальным результатам: опираясь на свои недавно сформулированные законы механики, Ньютон доказал второй закон движения планет Кеплера. Точнее, он показал, что при движении планеты по эллиптической орбите вокруг Солнца линия, соединяющая планету с Солнцем, заметает за равные промежутки времени равные площади (рис. 28). Кроме того, Ньютон доказал, что «для тела, вращающегося по эллипсу… притяжение, направленное к фокусу эллипса… обратно пропорционально квадрату расстояния». Все это были важные вехи на пути к «Началам».

«Начала»

Весной или летом 1684 года Ньютона в Кембридже навестил Галлей. Он уже некоторое время обсуждал законы движения планет Кеплера с Гуком и со знаменитым архитектором Кристофером Реном (1632–1723). Во время этих бесед за чашкой кофе в кофейне и Гук, и Рен заявили, что уже несколько лет назад независимо вывели закон всемирного тяготения, обратно пропорционального квадрату расстояния, однако ни тот ни другой так и не смог представить полное математическое доказательство. Галлей решил задать Ньютону наболевший вопрос: знает ли он, какой была бы орбита планеты, подвергавшейся воздействию силы, которая меняется обратно пропорционально квадрату расстояния? К его изумлению, Ньютон ответил, что уже несколько лет назад доказал, что орбита эта – эллипс. Эта история рассказана в заметке математика Абрахама де Муавра (1667–1754), страничка которой приведена на рис. 29 [76] Де Муавр вспоминал, что ему рассказывал сам Ньютон. .

Рис. 29

В 1684 году доктор Галлей приехал навестить его [Ньютона] в Кембридже, и когда они провели вместе некоторое время, доктор спросил его, какова, по его мнению, та кривая, которую описывали бы планеты, если предположить, что сила притяжения к Солнцу обратно пропорциональна квадрату расстояния до него. Сэр Исаак тут же ответил, что это будет эллипс, и доктор, вне себя от радости и изумления, спросил, откуда он это знает; что же, говорит Ньютон, я это вычислил; на это доктор Галлей попросил его, не откладывая, показать ему выкладки, и сэр Исаак поискал в своих бумагах, не нашел их, однако пообещал заново записать и послать доктору.

Галлей еще раз приехал к Ньютону в ноябре 1684 года. Между этими визитами Ньютон лихорадочно трудился. Де Муавр кратко описывает этот период.

Дабы исполнить свое обещание, сэр Исаак уселся за работу, однако никак не мог прийти к тому же выводу, который, как он полагал, ему удалось ранее получить со всей строгостью, однако он попробовал пойти другим путем, который, хотя и оказался длиннее прежнего, привел его еще раз к тому же выводу, а затем тщательно исследовал, по каким же причинам те вычисления, которые он проделал до этого, оказались неверными, и… добился, чтобы оба доказательства привели к одному и тому же результату.

Этот суховатый отчет не дает даже самого отдаленного представления о том, чего на самом деле достиг Ньютон за несколько месяцев между двумя визитами Галлея. Он написал целый трактат « De Motu Corporum in Gyrum » («О движении тел по орбитам»), где доказал почти все законы о движении тел по круглым и эллиптическим орбитам и все законы Кеплера и даже решил задачу о движении частицы в сопротивляющейся среде (например, в воздухе). Галлей был потрясен. К вящей своей радости, он в конце концов уговорил Ньютона опубликовать все эти поразительные открытия, и тогда наконец и сложились все условия для написания «Начал».