Артур Бенджамин - Магия математики - Как найти x и зачем это нужно

Еще один способ объяснить эту закономерность – подсчет, а именно – комбинаторное доказательство . Чтобы объяснить сумму чисел 5 ряда (который ничем принципиально не отличается от ряда n ), давайте вернемся к прилавку с мороженым, где на этот раз осталось всего лишь 5 сортов. Сколькими способами мы можем заполнить нашу вазочку? Единственное ограничение – сорта не должны повторяться. Мы можем взять 0, 1, 2, 3, 4 или 5 разных сортов, а порядок шариков не важен. Сколько получится вазочек с 2 шариками? Как мы уже знаем, посчитать их можно как Всего же, в зависимости

от количества шариков в вазочке и руководствуясь правилом суммы, получаем

вариантов, что можно упростить до 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1. С другой стороны, мы можем ответить на тот же вопрос, использовав правило произведения. Вместо того чтобы торопиться подсчитывать, сколько всего шариков может оказаться в вазочке, мы можем взять каждый из предлагаемых сортов и решить, покупать его или нет. Например, у нас есть 2 варианта выбора для шоколадного мороженого (берем или нет), 2 – для ванильного (берем или нет) и т. д. для всех 5 сортов (имейте в виду, что, решив не брать ни один из сортов, мы останемся с пустой вазочкой, что условия нашей задачи вполне допускают). Значит, возможных комбинаций будет

А раз в обоих случаях мы шли верным путем,

чего и следовало ожидать.

Тот же комбинаторный принцип доказывает, что, если посчитать сумму каждого второго числа в ряду n , у нас получится 2 n–1. В этом нет ничего удивительного, когда мы берем нечетные ряды, вроде пятого, где числа, которые мы складываем (1 + 10 + 5), совпадают с теми, которые мы пропускаем (5 + 10 + 1). Поэтому-то у нас и получается ровно половина от 2 n . Но ведь это работает и в четных рядах. Например, в четвертом: 1 + 6 + 1 = 4 + 4 = 2³. Обобщая, мы можем утверждать, что в любом ряду n ≥ 1

Почему? Левая сторона считает вазочки с четным количеством шариков мороженого (при ассортименте из n сортов и при условии, что в своем выборе мы не повторяемся). Но ту же вазочку можно получить, просто выбрав сорта от 1 до n – 1. У нас есть 2 варианта выбора для первого сорта (берем или нет), 2 – для второго и т. д., вплоть до сорта n – 1. Но вот для самого последнего сорта выбора у нас нет (вернее, только один) – мы же хотим, чтобы общее количество сортов было четным. Значит, и четное количество вазочек будет равно 2 n–1.

Если представить треугольник Паскаля как прямоугольный , можно увидеть еще больше закономерностей. Первый (или 0) столбец состоит из одних единиц, второй (или 1) – из положительных целых 1, 2, 3, 4 и так далее. Третий (или 2) столбец, начинающийся с 1, 3, 6, 10, 15… тоже нам хорошо знаком, ведь это треугольные числа, с которыми мы уже сталкивались в главе 1. Они также могут быть представлены как

Значит, столбик k будет состоять из чисел и т. д.

А теперь смотрите, что произойдет, когда мы сложим между собой несколько первых чисел любого столбца. Возьмем, например, первые 5 чисел 3 столбца (см. ниже). Получаем 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 – число, которое видим справа по диагонали от 15. Другими словами,

Называется эта закономерность правилом хоккейной клюшки , ведь форма обводки складываемых чисел, входящих в Паскалев треугольник, вместе с их суммой напоминает именно этот спортивный снаряд. Чтобы понять, на чем эта закономерность основана, представим себе хоккейную команду из семи игроков. У каждого на свитере порядковый номер: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сколько можно составить троек для проведения тренировки?