Дэвид Дойч - Структура реальности. Наука параллельных вселенных

Таким образом, ткань реальности имеет более однородную структуру, чем это могло бы быть, окажись математическое знание надежно верифицируемым, а, значит, иерархическим, как считалось традиционно. Математические сущности являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на царство абстракций, которое рисуют Платон и Пенроуз: будучи по определению неощутимыми, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от законов физики. Однако именно физика позволяет нам приобрести знание об этом царстве. И она накладывает строгие ограничения. Если в физической реальности постижимо все, то постижимые математические истины составляют бесконечно малое меньшинство тех, которые в точности соответствуют каким-то физическим истинам – вроде того факта, что при определенных манипуляциях определенными символами, записанными чернилами на бумаге, появятся другие определенные символы. Иначе говоря, это и есть те истины, которые можно представить в виртуальной реальности. У нас нет другого выбора, кроме как принять то, что непостижимые математические сущности тоже реальны, так как они возникают неустранимым образом в наших объяснениях постижимых сущностей.

Существуют физические объекты, например, пальцы, компьютеры и мозг, поведение которых может моделировать поведение определенных абстрактных объектов. Тем самым структура физической реальности открывает нам окно в мир абстракций. Это очень узкое окно, оно предоставляет только ограниченный обзор. Некоторые из структур, которые мы видим из него, например, натуральные числа или правила вывода классической логики, кажутся важными или «фундаментальными» для абстрактного мира, так же как глубокие законы природы фундаментальны для физического мира. Но эта видимость может ввести в заблуждение, поскольку в действительности мы видим только то, что некоторые абстрактные структуры фундаментальны по отношению к нашему пониманию абстракций. У нас нет никакой причины считать, что эти структуры объективно важны в абстрактном мире. Просто некоторые абстрактные сущности ближе, чем другие, и их проще увидеть из нашего окна.

Математика – изучение абсолютно необходимых истин.

Доказательство – способ установления истинности математических утверждений.

Традиционное определение: последовательность утверждений, которая начинается с некоторых посылок, заканчивается желаемым выводом и удовлетворяет определенным «правилам вывода».

Лучшее определение: вычисление, моделирующее свойства некоторой абстрактной сущности, результат которого устанавливает, что абстрактная сущность обладает данным свойством.

Математическая интуиция (традиционное определение) – высший самоочевидный источник обоснования математического рассуждения.

В реальности: множество теорий (осознанных и неосознанных) о поведении определенных физических объектов, которое моделирует поведение интересных абстрактных сущностей.

Интуиционизм – доктрина, состоящая в том, что все рассуждения об абстрактных сущностях ненадежны, кроме того случая, когда они основаны на прямой самоочевидной интуиции. Это математическая версия солипсизма.

Десятая проблема Гильберта – «раз и навсегда установить надежность математических методов», найдя набор правил вывода, достаточный для всех корректных доказательств, и затем доказать непротиворечивость этих правил в соответствии с их собственными стандартами.

Теорема Гёделя о неполноте – доказательство того, что десятая проблема Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют корректные доказательства, которые эти правила не определяют как таковые.

Сложные и автономные абстрактные сущности объективно существуют и являются частью структуры реальности. Существуют логически необходимые истины об этих сущностях, которые и составляют предмет математики. Однако эти истины невозможно знать с полной уверенность. Доказательства не гарантируют достоверность своих выводов. Корректность конкретной формы доказательства зависит от истинности наших теорий о поведении объектов, с помощью которых осуществляется доказательство. Следовательно, математическое знание по сути своей производно и полностью зависит от нашего знания физики. Постижимые математические истины – это в точности то бесконечно малое меньшинство, которое можно воспроизвести в виртуальной реальности. Однако непостижимые математические категории (например, CGT-среды) тоже существуют, так как они появляются неустранимым образом в наших объяснениях постижимых сущностей.