Дэвид Дойч - Структура реальности. Наука параллельных вселенных

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключенного третьего подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественным образом вызывает у неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевидна надежность интуиции интуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит из логической интуиции, он приводит нас к пересмотру вопроса о том, действительно ли математическая интуиция стоит выше логики. И в любом случае, может ли это быть самоочевидным ?

Но все это была критика интуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо настаивает, что непротиворечивость высказывания для него самоочевидна, то доказать его неправоту невозможно так же, как и если бы он настаивал на том, что существует только он один. Однако, как и в случае с солипсизмом в целом, воистину роковая ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда его принимают всерьез в качестве объяснения его собственного, произвольно усеченного мира. Интуиционисты верят в реальность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3… и даже числа 10 949 769 651 859. Но интуитивный аргумент, состоящий в том, что, раз у каждого из этих чисел есть следующее, то, они образуют бесконечную последовательность, для интуиционистов не более чем самообман и потому неубедителен. Но разрывая связь между своей версией абстрактных «натуральных чисел» и интуитивным представлением, которое эти числа должны были первоначально формализовать, интуиционисты отказывают себе в праве использовать обычную объяснительную структуру, через которую понимаются натуральные числа. Это создает проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъясненным усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив альтернативную или более глубокую объяснительную структуру для натуральных чисел, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делали солипсисты: он еще дальше уходит от объяснений. Он вводит дальнейшие необъясненные усложнения (в данном случае – отрицание закона исключенного третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается со стремления упростить пугающе разнообразный и неопределенный мир, но при серьезном к нему отношении оказывается реализмом, дополненным некоторыми ненужными усложнениями, так и интуиционизм в итоге становится одной из самых контринтуитивных доктрин, когда-либо воспринимавшихся всерьез.

Давид Гильберт предложил план гораздо более соответствующий здравому смыслу – хотя, в конечном счете, и обреченный – «раз и навсегда убедиться в надежности математических методов». План Гильберта основывался на идее непротиворечивости. Он надеялся составить однажды и навсегда полный набор современных правил вывода математических доказательств с определенными свойствами. Количество таких правил должно было быть конечным. Они должны были быть применимы непосредственно, так, чтобы определение того, удовлетворяет ли им какое-то предполагаемое доказательство, не вызывало бы споров. Желательно, чтобы эти правила были интуитивно самоочевидными, но это не было первостепенным требованием для прагматичного Гильберта. Он был бы удовлетворен, если бы правила лишь умеренно соответствовали интуиции при условии, что он мог бы быть уверен в их непротиворечивости. То есть, если правила определили данное доказательство как корректное, он хотел быть уверен, что они никогда не определят как корректное любое доказательство с противоположным выводом. Но как он мог в этом убедиться? На этот раз непротиворечивость следовало доказать с помощью метода доказательства, который сам подчинялся тем же правилам вывода. Тем самым Гильберт надеялся восстановить полноту и надежность, присущую аристотелевскому подходу. Он также надеялся, что в соответствии с этими правилами будет в принципе доказуемо любое истинное математическое утверждение и не будет доказуемо никакое ложное утверждение. В 1900 году в ознаменование начала нового века Гильберт опубликовал список проблем, которые, как он надеялся, математики смогут решить в XX веке. Десятая проблема заключалась в нахождении набора правил вывода с вышеуказанными свойствами и доказательстве их непротиворечивости на их же основе.