Дэвид Дойч - Структура реальности. Наука параллельных вселенных

Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные воздушные замки. Для практических целей многие такие построения казались достаточно надежными. Некоторые из них стали незаменимыми в науке и технике, и в большинстве своем они были связаны между собой красивой и плодотворной объяснительной структурой. Тем не менее никто не мог гарантировать, что вся эта структура или любая существенная ее часть не имеет в своей основе логического противоречия, способного превратить ее в полную бессмыслицу. В 1902 году Бертран Рассел доказал противоречивость схемы строгого определения теории множеств, которую только что предложил Готтлоб Фреге [46]. Это не значило, что больше нельзя было использовать множества в доказательствах. На самом деле совсем немногие математики всерьез считали, что хоть какой-то из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых разделов математики может быть некорректным. В результатах Рассела поражало то, что математики считали свой предмет средством получения абсолютной уверенности par excellence через доказательство математических теорем. Сама возможность разногласий относительно обоснованности различных методов доказательства подрывала (как считалось) саму суть их предмета.

Поэтому многие математики почувствовали, что подведение под теорию доказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы является насущным делом, не терпящим отлагательства. После своих стремительных прорывов они хотели консолидации: раз и навсегда определить, какие виды доказательств являются абсолютно надежными, а какие – нет. Все оказавшееся вне зоны надежности можно было и отбросить, а все попадающее в эту зону стало бы единой основой всей будущей математики.

В этой связи нидерландский математик Лёйтзен Эгбертус Ян Брауэр [47]пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории доказательства, известную как интуиционизм, которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать «интуицию» самым узким возможным образом, сохраняя лишь то, что они считают ее неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они поднимают определенную таким образом математическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял ей Платон: они ставят ее даже выше чистой логики. Саму логику они считают не заслуживающей доверия, за исключением тех случаев, когда ее оправдывает прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметь прямое интуитивное понимание какой-либо бесконечной сущности. Поэтому они отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Утверждение о том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бы самоочевидно ложным, а утверждение о том, что «существует больше CGT-сред, чем физически возможных сред», – абсолютно бессмысленным.

Исторически интуиционизм сыграл ценную освободительную роль, как и индуктивизм до него. Он осмелился подвергнуть сомнению то, что считалось совершенно достоверным, и кое-что из этого действительно оказалось ложным. Но в качестве позитивной теории о том, что является или не является корректным математическим доказательством, он и не представляет никакой ценности. В действительности интуиционизм – это точное выражение солипсизма в математике. В обоих случаях наблюдается чрезмерная реакция на мысль о том, что мы не можем быть уверены в том, что нам известно о внешнем мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйти во внутренний мир, который мы якобы знаем непосредственно и, следовательно (?), можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях решение включает отрицание существования – или, по крайней мере, отказ от объяснения – того, что находится вовне. И в обоих случаях этот отказ также делает невозможным объяснение большей части того, что находится внутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (как утверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных чисел, то мы можем заключить, что должно существовать лишь конечное их количество. Но сколько? И потом, сколько бы их ни было, почему нельзя создать интуицию следующего натурального числа после данного? Интуиционисты оправдываются, говоря, что приведенный мной довод допускает обоснованность обычной логики. В частности, он содержит логический переход: из того факта, что не существует бесконечно много натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать какое-то конкретное конечное их количество. Применяемое в данном случае правило вывода называется законом исключенного третьего. Этот закон гласит, что для любого утверждения Х (например, «существует бесконечно много натуральных чисел») нет третьей возможности, кроме истинности Х и истинности отрицания Х («существует конечное множество натуральных чисел»), которая была бы истинной. Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенного третьего.