Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания

Оценивая роль Платона в развитии математики в целом и в понимании золотого сечения в частности, мы должны будем изучить не только его вклад в собственно математику, достаточно скромный, но и последствия его влияния на математические изыскания других ученых и в его собственном, и в последующих поколениях, и поддержки, которую он оказывал науке в целом. В некотором смысле Платона можно считать одним из первых чистых теоретиков. Примером его теоретических наклонностей может служить отношение к астрономии, где он предпочитал не наблюдать движение светил, а советовал «оставить небеса в покое» и сосредоточиться на более абстрактных математических небесах. Согласно Платону, настоящие звезды – это всего лишь отображение математических небес, подобно тому как геометрические чертежи – отображение абстрактных понятий точки, линии и окружности. Любопытно, что в своей выдающейся книге «История греческой математики» ( Thomas Heath . A History of Greek Mathematics), изданной в 1921 году, сэр Томас Хит пишет: «Трудно разобраться, что же имел в виду Платон, когда проводил различие между видимой небесной тканью (то есть видимыми звездами, их расположением и движением), которая, безусловно, прекрасна, и подлинной небесной тканью, которым видимые небеса лишь подражают и которые бесконечно чудеснее и прекраснее».

Как астрофизик-теоретик я должен отметить, что Платон в неявном виде высказывает некоторые соображения, которым я симпатизирую. Здесь проводится различие между красотой космоса как такового и красотой теории, которая объясняет устройство Вселенной. Для наглядности приведу принцип, который открыл великий немецкий художник Альбрехт Дюрер (1471–1528).

Сложим шесть правильных пятиугольников (рис. 19) так, чтобы получился один большой пятиугольник с пятью отверстиями в форме золотых треугольников (равнобедренных треугольников с отношением стороны к основанию, равным φ). Шесть таких пятиугольников, в свою очередь, образуют еще один правильный пятиугольник, большой и более дырчатый – и так до бесконечности.

Думаю, все согласятся, что получившаяся фигура (рис. 19) удивительно красива. Однако у нее есть и обаяние другого рода – математическое: оно состоит в простоте принципа, по которому она строится. Так вот, мне кажется, это и есть математические небеса, о которых говорил Платон.

Не приходится сомневаться, что общее руководство научными изысканиями, которое осуществлял Платон в годы своего правления, гораздо важнее его непосредственного вклада в исследования. В тексте, который приписывают Филодему и относят к первому веку, мы читаем: «В те времена в математике [был достигнут] большой прогресс, и Платон им руководил и задавал задачи, которые математики ревностно решали».

Рис. 19

Тем не менее, Платон и сам очень интересовался свойствами чисел и геометрических фигур. В частности, в «Законах» он предполагает, что оптимальное число граждан в государстве – 5040, поскольку это число (а) делится на 12, 20 и 21, (б) его двенадцатая часть тоже делится на 12, (в) у него 59 делителей, в том числе все целые числа от 1 до 12, кроме 11, зато на 11 делится практически соседнее число 5038. Выбор этого числа с его свойствами позволил Платону разработать свою социально-экономическую утопию. Скажем, земля в государстве делится на 5040 наделов, а 420 из них составляют территорию каждой из двенадцати «фил». Сами жители государства делятся на четыре общественные категории – класса: свободные граждане с женами и детьми, их рабы, поселенцы-иностранцы и разнообразные заезжие гости. При выборах совета члены каждого из четырех классов избирают из своей среды по девяносто человек.

С Платоном связано и еще одно число – 216. Его он упоминает в «Государстве» в довольно-таки темном отрывке, где речь идет о том, что 216 – это шесть в кубе, а 6 – это одно из чисел, символизирующих брак (поскольку это произведение женского числа 2 и мужского числа 3). Платон и сам был учеником пифагорейцев и прекрасно знал, что сумма кубов сторон знаменитого пифагорейского треугольника – 3–4–5 – тоже равна 216.

Золотое сечение интересовало Платона, поскольку его очень занимали две темы: несоизмеримость и платоновы тела . В «Законах» Платон признается, что ему неловко, что с идеей несоизмеримости длин и с иррациональными числами он познакомился сравнительно поздно, и сокрушается, что многие греки его поколения до сих пор о них не знают.