Журнал «Юный техник» - Юный техник, 2013 № 01

10. Решите систему неравенств

11. Решите уравнение cos 4x + sin 8x = sin 4x + cos 8x.

12. Сумма первых 23 членов арифметической прогрессии равна 1978, а сумма первых 35 членов равна 2380. Найдите сумму первых 92 членов этой прогрессии.

13. Решите уравнение

14. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Окружность с центром на большей стороне касается двух меньших сторон треугольника. Найдите: а) радиус окружности; б) длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

ФИЗИКА

1. Гребцы на лодке стартовали от пункта А до пункта В вниз по течению реки. Спустя t 1= 1 ч они добрались до пункта Б . Здесь их взял на буксир катер и через время t 2= 1 ч они вернулись к месту старта. Определите скорость течения реки ν rи расстояние L между пунктами А и Б , если известно, что скорость лодки в стоячей воде ν л= 10 км/ч, скорость катера в стоячей воде ν к— 18 км/ч. Временем, затраченным на разворот и организацию буксировки, пренебречь.

2. Для изучения «неопознанных плавающих объектов» (НПО) в озере установили неподвижный подводный микрофон. Когда был обнаружен покоящийся объект, микрофон регистрировал регулярные короткие звуковые сигналы с интервалом τ 1 = 1 с. Когда НПО пришел в движение, микрофон стал регистрировать сигналы с интервалом τ 2= 1,001 с. Определите скорость и направление движения НПО. Считать, что за все время наблюдения НПО и микрофон находились на одной прямой. Во время движения объект издавал сигналы с той же периодичностью, что и в покое. Скорость звука в воде ν зв = 1500 м/с.

3. Для охлаждения нагретых стальных деталей их можно поместить в сосуд со специальным маслом. Какую максимальную массу нагретых стальных деталей можно охладить в сосуде вместимостью V = 10 л? Плотность масла ρ м= 800 кг/м3, плотность стали ρ ст= 7800 кг/м3.

Известно, что для охлаждения одного килограмма стали требуется 12 кг масла, при условии, что детали полностью погружены в масло. Изменением объема деталей при охлаждении и испарением масла пренебречь.

4. Два груза, первый некоторой массой m 1и второй массой m 2= 2 кг, неподвижно висят на двух легких пружинах с коэффициентами жесткости k 1= 100 Н/м и k 2= 400 Н/м (рис. 1).

Как изменится длина всей системы (расстояние от точки А крепления верхней пружины к опоре до точки В нижней пружины), если поменять местами пружины? Считать g=10 Н/кг.

5. В одинаковых сообщающихся цилиндрических сосудах с вертикальными стенками одинаковой высоты находится вода, причем ее уровень расположен на h 0= 10 см ниже верхнего края сосудов. При доливании в один из сосудов масла объемом V M = 12 см 3он оказался заполненным маслом до самого края. Определите площадь поперечного сечения сосуда S . Плотность масла ρ м= 800 кг/м 3, плотность воды ρ в= 1000 кг/м 3.

6. Сплошной пробковый шар плавает в сосуде с водой, погрузившись наполовину. Если к нему прикрепить медную деталь массой m м = 50 г, то он полностью уйдет под воду, не касаясь при этом стенок и дна сосуда. Определите массу пробкового шара. Плотность пробки ρ пр = 200 кг/м 3, плотность меди ρ м= 8900 кг/м 3.

7. Однородный стержень массой m = 100 кг и длиной L = 3 м нужно подвесить в горизонтальном положении на двух одинаковых тросах. При этом один трос крепится за край стержня, а второй нужно закрепить как можно ближе к середине стержня. Известно, что трос рассчитан на максимальную силу натяжения величиной T макс= 750 Н. На каком минимальном расстоянии от середины стержня можно закрепить второй трос? g = 10 Н/кг.

8. В стакан, нагретый до температуры t ст= 50 °C и имеющий теплоемкость С = 50 Дж/°С, наливают m в = 100 г холодной воды при температуре t 0= 0 °C. После установления теплового равновесия воду выливают, а стакан наполняют второй такой же порцией холодной воды.

Определите установившиеся температуры t 1и t 2первой и второй порций воды. Потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоемкость воды с в= 4200 Дж/(кг∙°С).

9. В сосуде находится m в= 200 г теплой воды при температуре t в= 50 °C. Какую максимальную массу льда, взятого при температуре t л= -10 °C, можно расплавить, используя эту воду? Теплоемкостью сосуда и потерями теплоты пренебречь. Удельная теплоемкость воды с в= 4200 Дж/(кг ∙°С), удельная теплоемкость льда с л= 2100 Дж/(кг ∙°С), удельная теплота плавления льда λ л = 3,35∙10 5Дж/кг.