Gustavo Pineiro - Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике.

Изобразим отсутствие точки как пустую окружность.

РИС. 2

Таким образом, каждая точка квадрата определена двумя координатами. Сначала ставят абсциссу, а потом ординату: мы будем говорить о точках координат 0,2 и 0,7, подразумевая, что 0,2 — значение по абсциссе, а 0,7 — по ординате.

Задача заключается в том, чтобы установить взаимно однозначное соответствие между вещественными числами, находящимися между точками 0 и 1, и парами чисел между 0 и 1 так, чтобы каждому числу соответствовала единственная пара, а каждой паре — только одно число.

Предположим, есть число 0,213421342134... Какой паре координат оно соответствует? Возьмем цифры, стоящие в нечетных позициях после запятой (первую, третью, пятую и так далее). Это числа 232323... Затем рассмотрим четные позиции. Это числа 141414... Число 0,213421342134... соответствует, таким образом, паре координат 0,232323... и 0,141414...

Аналогично, если у нас есть точка с координатами 0,232323... и 0,141414..., чтобы получить соответствующую точку на отрезке, возьмем первое число абсциссы, первое число ординаты, потом второе число абсциссы, второе число ординаты и так далее. Мы получим число 0,21342134... (см. рисунок 3).

Теперь докажем, что два отрезка разной длины эквивалентны. Сначала проведем две прямые через концы отрезков и обозначим точку их пересечения буквой О. Затем проведем еще прямые через точку О. На рисунке показано, как с их помощью соотнести с каждой точкой Р на одном отрезке точку F на другом.

Еще один пример. Если у нас есть точка с координатами 0,2 и 0,7, запишем эти числа как 0,20000... и 0,70000... (количество нулей не имеет значения). Этой паре будет соответствовать число 0,270000..., то есть 0,27. На рисунке 4 показаны и другие примеры этого соответствия. То есть мы видим, что каждому числу в промежутке от 0 до 1 соответствует конкретная пара координат и каждой паре координат соответствует конкретное число. Другими словами, мы установили взаимно однозначное соответствие между любым отрезком и любым квадратом: следовательно, мы можем утверждать, что у этих множеств одинаковая мощность. Выше мы сказали, что любой отрезок равномощен полной оси. Аналогично, мы можем доказать, что мощность квадрата такая же, как мощность всей плоскости.

Таким образом, мы приходим к выводу, что любая прямая, любой отрезок, любой квадрат и плоскость имеют одинаковую мощность. Это верно и для трехмерных объектов, так как можно доказать, что мощность отрезка равна мощности куба, которая, в свою очередь, равна мощности всего трехмерного пространства.

РИС. 3: Взаимно однозначное соответствие между отдельными числами и парами чисел.

РИС. 4: Некоторые примеры соответствия между числом, находящимся между О и 1, и парой чисел.

Вернемся к основному вопросу задачи: существует ли множество с большей мощностью, чем мощность вещественных чисел? Мы все еще не нашли решение: ни квадрат, ни плоскость, ни трехмерное пространство (все это бесконечные множества точек) не годятся в качестве ответа. Однако нет у нас и аргументов, доказывающих, что такое множество существовать не может.

На рисунке 1 показано, как можно доказать равномощность окружности с выколотой точкой (ее отсутствие обозначено пустым кружком) отрезку без концов, искривляя его. Оба эти множества точек — в сущности одно и то же, их единственное различие заключается в графическом изображении на плоскости. В одном случае они располагаются на прямой, в другом — по окружности. На рисунке 2 показано, как установить взаимно однозначное соответствие между окружностью без точки и прямой. Каждой точке Р окружности соответствует точка F на прямой (Р и Р' должны всегда находиться на одной линии с недостающей окружности точкой). Исходя из транзитивного свойства мы заключаем, что отрезок без концов эквивалентен замкнутой оси.