Juan Carretero - Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Идея Гейзенберга заключалась в радикальном изменении модели Бора. Он полагал, что местоположение, скорость и траектория не являются напрямую измеряемыми величинами, и следовательно, их нужно заменить на другие, имеющие более удовлетворительную квантовую интерпретацию — такие, например, как энергетические уровни и амплитуда перехода. С помощью этой основополагающей идеи Гейзенберг рассмотрел простую ситуацию с одномерным гармоническим осциллятором, которым являются, например, маятник или груз на пружине, и доказал, что описание динамических свойств (таких как положение или скорость частицы) требует введения операторов, зависящих от целых чисел (квантовых чисел), связанных с переходом от одного определенного квантового состояния к другому определенному квантовому состоянию.

Из этой зависимости от двух показателей следовало, что изначальные величины можно представить в виде строгой таблицы чисел, составленной из строк и столбцов. Такая конфигурация устанавливала более чем странное свойство: результат не обладал свойствами коммутативного умножения. Другими словами, итоговый результат зависел от порядка сомножителей. Сначала Гейзенберг посчитал данный результат ошибкой, недостатком теории, который следует устранить. И все же он рискнул послать статью своему научному руководителю, Максу Борну, который немедленно решил опубликовать ее.

То, что Гейзенберг считал слабым местом новой теории, Дираку казалось наиболее важной ее идеей. Он детально изучил классическую механику и формализм Гамильтона и прекрасно знал о существовании переменных и величин, которые не обладают свойствами коммутативного умножения. Но можно ли было провести аналогию между новыми квантовыми величинами Гейзенберга и переменными классической теории? Ответ на данный вопрос пришел Дираку внезапно, когда он вспомнил о «скобках Пуассона». Позднее он рассказывал:

«Это произошло во время одной из моих воскресных загородных прогулок в октябре 1925 года. Я не мог выкинуть из головы комбинацию квантовых переменныхху — ухи внезапно вспомнил о конструкции, называемой «скобками Пуассона», которую достаточно часто использовала классическая механика. Вернувшись домой, я перечитал все свои записи и имевшиеся книги, чтобы разрешить собственные сомнения, но все было напрасно. Ночью я практически не сомкнул глаз. На следующий день с самого раннего утра я отправился в библиотеку и там нашел то, что искал, — в «Аналитической динамике» Уиттекера, которую я детально изучал в прошлом».

После нескольких недель упорной работы Дирак вывел искомое соотношение:

xy - yx = ih/2π [x,y].

Это уравнение напрямую связывало квантовые величины, или операторы Гейзенберга, с классическими переменными, введенными благодаря скобкам Пуассона, [х, у]. В уравнении использовалась постоянная Планка h, коэффициент 2π и мнимая единица i = √-1. Уравнение можно было записать с помощью «редуцированной постоянной Планка», равной

ħ = h/2π

Данное понятие было введено Дираком в 1930 году.

Несмотря на проявленную ученым сдержанность в отношении принципа соответствия Бора, этот самый принцип представал здесь как основа теории. Соответствие между квантовыми переменными и классическими, а также Гамильтонов формализм быстро привели Дирака к его новой теории. Все обретало смысл, а результаты и основополагающие принципы, такие как принцип сохранения энергии и правило частот Бора, находили естественное объяснение.

Дирак закончил статью «Основные уравнения квантовой механики» в ноябре 1925 года и отправил ее Фаулеру, который тут же осознал важность и глубину работы своего студента.

Скобки Пуассона были введены в 1809 году французским физиком и математиком Симеоном Дени Пуассоном (1781-1840). Они представляют собой очень полезное понятие в аналитической механике: с их помощью можно вывести основные уравнения движения. Общее определение этого понятия следующее.

Возьмем две произвольные функции F и G, зависящие от обобщенных пространственных и временных координат: q j, р j. Скобки Пуассона определяются через

[F,G] = ∑(∂F/∂q j∂G/∂p j- ∂F/∂p j∂G/∂q j).

Отношение между классическими переменными задано: [q i,q j]=[p i,p j=0; [q i, p j] = δ ij, где δ ijявляется функцией дельты Кронекера, то есть δ ij= 0 для i ≠ j и δ ij=1 для i = j. В особых случаях функции Гамильтона (гамильтониан) H (q j,p j,t), то есть функции, определяющей энергию системы, скобки Пуассона позволяют получить следующие основные уравнения движения: