Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

(А4) 0, 0, 0, 0, 0…

Будучи простейшей из возможных бесконечных последовательностей, она в то же время наименее динамичная в слоуновской коллекции, хотя и не лишена определенного нигилистического очарования.

Поддержание «Онлайн-Энциклопедии» — основная работа Слоуна, параллельная другой настоящей работе — занятию математикой в лабораториях компании AT&T в Нью-Джерси. Однако сейчас ему больше не нужно тратить время на поиски новых последовательностей. После того как к «Энциклопедии» пришел успех, Слоан постоянно получает новые — от профессиональных математиков, но по больше части от людей, одержимых числами. У Слоуна есть всего один критерий, на основе которого новой последовательности разрешается вступить в клуб: она должна быть «корректно определенной и интересной». Первое означает попросту, что каждый член в последовательности можно описать или алгебраически, или риторически. Удовлетворяет ли последовательность второму требованию — решает он сам, хотя обычно в случае сомнения он склонен решить вопрос скорее в пользу той или иной последовательности. Правда, из требований «корректной определенности» и «интересности» вовсе не следует, что последовательность обязательно должна быть математической. И история, и фольклор, и причуды также играют роль в его решении.

Среди последовательностей, включенных в «Энциклопедию», имеется и вот такая довольно древняя:

(А100000) 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7.

Числа в этой последовательности представляют собой перевод на язык цифр отметок, сделанных на самом старом из известных математических объектов — на кости Ишанго, артефакте возрастом 22 000 лет, найденном на территории нынешней Демократической Республики Конго [47] Кость Ишанго (эпоха верхнего палеолита) — берцовая кость бабуина, покрытая рядами насечек. Некоторые ученые полагают, что это примитивный лунный календарь. ( Примеч. перев. ) . Эта обезьянья кость сначала считалась инструментом для определения длины (попросту говоря, линейкой), однако потом ученые высказали идею, что поскольку насечки на кости хитро сгруппированы — тройка, ее удвоение, затем четверка, ее удвоение, десятка, за которой следует ее половина, — то эта последовательность может выражать какой-то более замысловатый ход мыслей, возможно связанный с выполнением арифметических действий.

В коллекции имеется также дьявольская последовательность:

(А51003) 666, 1666, 2666, 3666, 4666, 5666, 6660, 6661…

Она составлена из так называемых Чисел Зверя — чисел, содержащих фрагмент 666.

Ради забавы Слоун также включил и такую последовательность:

(А38674) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8, 16.

Это числа из латиноамериканской детской песенки «La Farolera»: «Dos у dos son quatro, cuatro у dos son seis. Seis у dos son ocho, у ocho dieciseis» (Два и два — четыре, четыре и два — шесть, шесть и два — восемь и т. д.).

Но самая, быть может, классическая из всех последовательностей — это последовательность простых чисел:

(А40) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…

Простые числа — это натуральные числа большие единицы, которые делятся только на себя и на единицу. Их очень просто описать, но их последовательность демонстрирует весьма впечатляющие, а временами и таинственные свойства. Во-первых, как доказал Евклид, простых чисел бесконечно много. Какое бы число вы ни взяли, всегда найдется простое число большее, чем данное. Во-вторых, каждое натуральное число больше 1 записывается — причем существует только один вариант — как произведение простых чисел. Другими словами, каждое число равно результату перемножения определенного набора простых чисел. Например, 221 есть 13 × 17. Следующее число, 222, есть 2 × 3 × 37. Идущее за ним — 223 — простое, так что можно записать только 1 × 223, а 224 есть 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7. И так можно продолжать до бесконечности. Например, миллиард равен 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5. Это свойство чисел известно как фундаментальная теорема арифметики, и именно оно определяет, почему простые числа рассматриваются как неделимые кирпичики всей системы натуральных чисел.

Однако, несмотря на свою особенность, простые числа не обладают монополией на производство последовательностей, несущих в себе специальные секреты математического порядка (или беспорядка). Все последовательности так или иначе способствуют нашему лучшему пониманию того, как устроены числа. «Онлайн-энциклопедию целочисленных последовательностей» можно также рассматривать как собрание разнообразных примеров, справочное руководство по численному порядку, лежащему в основании мира. Возникнув из личного пристрастия Нила Слоуна, этот проект оказался действительно важным научным ресурсом.