Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Успешное решение всякой головоломки оказывает важное позитивное влияние на ваше эго, но дополнительное очарование в решении задачек судоку состоит отчасти во внутренней красоте и уравновешенности идеального латинского квадрата, определяющего их форму. Успех судоку — свидетельство уходящего в века и существующего в самых различных культурах фетиша в виде числовых квадратов. И в отличие от массы всяких других головоломок успех судоку — это одновременно и замечательная победа математики. Хотя в судоку нет никакой арифметики, решение требует абстрактного мышления, распознавания образов, логической дедукции и построения алгоритмов.

Например, как только вы поняли правила судоку, становится полностью ясной идея единственности решения. Для каждой числовой структуры в таблице имеется только одно возможное окончательное расположение для чисел в пустых клетках. Однако при этом не верно, что всякая частично заполненная таблица будет иметь единственное решение. Вполне может случиться, что некий квадрат 9 × 9 с расставленными в нем числами не имеет решения, как может случиться и то, что у данного квадрата будет много решений. Когда британский спутниковый канал «Sky TV» запустил Судоку-шоу, продюсеры нарисовали таблицу размером 275 на 275 футов на известняковом холме, расположенном где-то в сельской местности в Англии. Это, по их утверждению, было самое большое судоку в мире. Однако предложенные ими числа позволяли заполнить квадрат 1905 различными способами. Таким образом, разрекламированное самое большое судоку не имело единственного решения, а потому и не могло классифицироваться как судоку.

Область математики, имеющая дело с перечислением комбинаций (таких, например, как упомянутые 1905 решений фальшивого судоку, предложенного «Sky TV»), называется комбинаторикой. Она состоит из изучения перестановок и комбинаций предметов, подобных числам из таблицы. Кроме того, к комбинаторике относится и знаменитая задача о коммивояжере. Пусть, скажем, я — коммивояжер, и мне надо заехать в 20 магазинов. В каком порядке мне надо в них заезжать, чтобы полный путь, который я проделаю, оказался минимальным? Решение требует рассмотрения всех перестановок путей между всеми магазинами, и представляет собой классическую (и исключительно сложную) комбинаторную задачу. Подобные задачи постоянно возникают в бизнесе и промышленности; например, при составлении расписания вылета самолетов из аэропорта или при проектировании эффективной системы сортировки почты.

Комбинаторика — это область математики, которая имеет дело с исключительно большими числами. Как мы видели на примере магических квадратов, уже небольшое количество чисел можно расположить на удивление большим количеством способов. Хотя и латинские, и магические квадраты образуют квадратные таблицы, при их одинаковом размере латинских квадратов меньше, чем магических, однако латинских квадратов все равно очень много. Например, количество латинских квадратов размером 9 × 9 выражается числом из 28 цифр. Сколько среди них различных судоку? Число латинских квадратов, представляющих собой судоку, — то есть таблиц размером 9 × 9, в которых 9 подквадратов содержат все цифры, — меньше полного числа примерно в сто тысяч раз и равно 6 670 903 752 021 072 936 960. Впрочем, многие из этих таблиц представляют собой различные варианты одного и того же квадрата, получаемые отражением или вращением (что мы видели выше для магического квадрата 3 × 3). Если не считать квадраты, получаемые вращениями и отражениями, то искомое количество заметно уменьшается: общее число различных возможностей для целиком заполненных таблиц судоку оказывается равным примерно 5,5 миллиарда.

Это, впрочем, не равно полному числу возможных судоку, которое намного больше данного числа, потому что каждая заполненная сетка будет решением многих разных судоку. Скажем, напечатанное в газете судоку имеет одно-единственное решение. Но как только вы заполните один из квадратов, вы немедленно тем самым создадите новую таблицу с новым набором данных, другими словами — новое судоку с тем же единственным решением, и т. д. для каждого из квадратов, которые вы будете заполнять. Так что если в данном судоку имеется, скажем, 30 исходно заданных чисел, то у вас есть возможность создать еще 50 других судоку с тем же единственным решением — до тех пор, пока не будет заполнена вся таблица. (Это означает новое судоку для каждого дополнительного числа, до тех пор пока в таблице из 81 квадрата не окажется 80 заполненных.) Нахождение полного числа судоку не слишком интересно, поскольку большинство таблиц для них имеют лишь очень небольшое число незаполненных клеток, что не отвечает духу этих головоломок. Математиков гораздо более привлекает задача нахождения минимального числа цифр, исходно расставленных по таблице. Самый главный комбинаторный вопрос касательно судоку звучит так: каково наименьшее количество чисел, которые можно оставить, чтобы имелся только один способ заполнения всей таблицы?