Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Набожный лютеранин, Кантор вел широкую переписку с духовными лицами по поводу значимости своих результатов. Он полагал, что его подход к бесконечности продемонстрировал ее постигаемость человеческим разумом, а поэтому подвел человека ближе к Богу. Среди предков Кантора были и евреи, что, как полагают многие, повлияло на его выбор буквы алеф в качестве символа для бесконечности: великий математик мог знать, что в мистической еврейской традиции Каббалы алеф обозначает высшее проявление Бога. Сам же Кантор говорил, что гордится своим выбором алефа, поскольку эта буква, первая буква древнееврейского алфавита, — очень подходящий символ для нового начала.

Алеф годится и для завершения нашего путешествия в мир математики. Эта наука, как я писал в начальных главах этой книги, возникла из стремления человека придать смысл тому, что его окружает. Делая насечки на стволах деревьев или считая на пальцах, наши далекие предки изобрели числа. Числа помогали и в земледелии, и в торговле, они открыли человечеству дверь в «цивилизацию». Затем, по мере развития математики, предметом ее стали в меньшей степени реальные вещи, а в большей — абстракции. Греки ввели в обиход такие концепции, как точка и линия, а индусы изобрели нуль и тем самым проложили дорогу к еще более радикальным абстракциям — отрицательным числам. Хотя эти концепции казались сначала идущими вразрез с интуицией, они довольно быстро были приняты, и ныне мы пользуемся ими ежедневно. К концу XIX столетия, однако, пуповина, связывающая математику с непосредственным опытом, была разорвана раз и навсегда. После Римана и Кантора она потеряла какую-либо связь с интуитивным восприятием мира.

Обнаружив кардинальное число ℵ 0, Кантор не остановился и доказал, что имеются даже еще большие бесконечности. Как мы видели, c — это число точек на прямой. Оно же есть число точек на двумерной поверхности. (Еще один удивительный результат, который вам придется принять с моих слов на веру.) Пусть d — число всевозможных кривых, линий и загогулин, которые можно нарисовать на двумерной поверхности. Используя теорию множеств, можно доказать, что d больше, чем с. Можно двинуться и дальше — показать, что должна иметься бесконечность еще бо́льшая, чем d Никто, впрочем, не смог предъявить множество вещей, кардинальное число которого было бы больше, чем d.

Кантор увел нас далеко за пределы вообразимого. Это довольно чудесное место и, занятным образом, противоположное тому, в котором пребывает племя в бассейне Амазонки, о котором говорилось в начале книги. У мундуруку много вещей, но не хватает чисел, чтобы их пересчитать. Кантор предоставил нам числа в неограниченном избытке, зато теперь у нас не хватает вещей, которые можно было пересчитывать с их помощью.

Подробную библиографию по каждой главе, а также приложения можно найти на веб-сайте www.alexbeIlos.com . Ниже перечислены наиболее существенные книги, из которых я почерпнул информацию.

Acheson D. 1089, and All That. New York: Oxford University Press. 2002.

Aczel A. D. Chance. New York: Basic Books, 2005.

Aczel A. D. The Mystery of the Aleph. New York: Washington Square Press, 2000.

Andrews F. E. New Numbers. London: Faber & Faber, 1936. Balliett L. D. The Philosophy of Numbers. Atlantic City, N.J.: L. N. Fowler & Co., 1908.

Beckmann P. A History of Pi. New York: St. Martin’s, 1971.

Bell E. T. Numerology. New York: Century, 1933.

Bell E. T. Men of Mathematics. New York: Touchstone, 1937.

Bennett D. J. Randomness. Cambridge: Harvard University Press. 1998.

Bentley P. J. The Book of Numbers. London: Cassell Illustrated, 2008.

Berggren L., Borwein J., and Borwein P. Pi: A Source Book. New York: Springer, 2003.

Butterworth B. The Mathematical Brain. London: Macmillan, 1999.

Cajori F. A History of Mathematical Notations. New York: Dover, 1993 (facsimile of original by Illinois: Open Court, 1928/9).

Cohen I. B. The Triumph of Numbers. New York: W. W. Norton, 2005.

Darling D. The Universal Book of Mathematics. Hoboken, N.J.: Wiley, 2004.

Dehaene S. The Number Sense. Oxford: Oxford University Press, 1997.

Derbyshire J. Unknown Quantity. London: Atlantic Books, 2006.

Devlin K. All the Math That's Fit to Print. Washington: Mathematical Association of America, 1994.

Dudley U. Numerology. Washington: Mathematical Association of America, 1997.

Dudley U. (ed.). Is Mathematics Inevitable? Washington: Mathematical Association of America, 2008.

Du Sautoy M. Finding Moonshine. London: Fourth Estate, 2008.

Du Sautoy M. The Music of the Primes. London: Fourth Estate, 2003.

Eastaway R., Wyndham J. How Long Is a Piece of String? London: Robson Books, 2002.

Eastaway R., Wyndham J. Why Do Buses Come in Threes? London: Robson Books, 1998.

Ferguson K. The Music of Pythagoras. New York: Walker, 2008.

Fibonacci L. Fibonacci’s Liber Abaci. New York: Springer, 2002.

Gardner M. Martin Gardner's Mathematical Games. Washington: Mathematical Association of America, 2005.

Gowers T. Mathematics: A Very Short Introduction. Oxford: Oxford University Press, 2002.

Gullberg J. Mathematics: From the Birth of Numbers. New York: W. W. Norton, 1997.