Чарльз Сейфе - Ноль - биография опасной идеи

Такая логика может показаться мелочной и как аргумент столь же мистической, как «призраки» Ньютона, но на самом деле это не так. Она удовлетворяет жесткому требованию математиками логической строгости. Концепция пределом обладает твердым и последовательным основанием. На самом деле можно распроститься с приведенным выше обсуждением «вызова»: существуют и другие способы определения предела. Можно назвать его схождением двух чисел, предела сверху и предела снизу. (У меня есть замечательное доказательство этого, но, увы, эта книга слишком мала, чтобы оно могло в ней поместиться.) Поскольку пределы логически безупречны, производная, определенная в терминах пределов, тоже делается логически безупречной, и исчисление получает надежный фундамент.

Больше не было необходимости делить на ноль. Из области математики исчез мистицизм, и снова к власти пришла логика. Мир царил до эры Террора.

Ноль и бесконечность всегда выглядели подозрительно похожими друг на друга. Умножьте ноль на что угодно, и вы получите ноль. Умножьте бесконечность на что угодно, и вы получите бесконечность. Деление числа на ноль дает бесконечность, деление числа на бесконечность дает ноль.

Прибавление ноля к числу оставляет число без изменения. Прибавление числа к бесконечности оставляет бесконечность без изменения. Это сходство было очевидным со времен Ренессанса, но математикам пришлось ждать до конца Французской революции, прежде чем они открыли большой секрет ноля.

Ноль и бесконечность — две стороны одной медали, равные и противоположные, инь и ян, одинаково могучие противники на противоположных концах области чисел. Причиняющая неприятности природа ноля связана со странной силой бесконечности, и можно понять бесконечное, изучая ноль. Чтобы узнать об этом, математикам пришлось погрузиться в мир воображаемого, странный мир, где окружности — прямые, прямые — окружности, а бесконечность и ноль находятся на противоположных полюсах.

Ноль — не единственное число, которое веками отвергалось математиками. Как и ноль, страдавший от предубеждения греков, игнорировались и другие числа — за то, что не имели геометрического смысла. Одним из таких чисел было i, обладавшее ключом к странным особенностям ноля.

Алгебра предложила новый способ смотреть на числа, совершенно оторванный от греческих геометрических идей. Вместо того чтобы пытаться измерить площадь под параболой, как это делали греки, ранние алгебраисты искали решения уравнений, определявших соотношения между разными числами. Например, простое уравнение 4 x — 12 = 0 описывает, как неизвестная величина x соотносится с числами 4, 12 и 0. В данном случае x равен 3. Подставьте 3 вместо x в данном уравнении, и вы сразу увидите, что уравнение выполняется: 3 — это решение уравнения 4 x — 12 = 0.

Начав нанизывать символы, чтобы получить уравнение, вы можете столкнуться с чем-то неожиданным. Например, возьмите то же уравнение и замените в нем знак «–» на знак «+». Вы получите совершенно невинно выглядящее уравнение 4 x + 12 = 0, однако теперь его решение –3, отрицательное число.

Как и в случае с нолем, который индийские математики принимали, в то время как европейские веками отвергали, Восток принял и отрицательные числа, которые Запад пытался игнорировать. Еще в XVII веке Декарт отказывался признавать отрицательные числа корнями уравнений. Он называл их «ложными корнями». Это объясняет, почему он никогда не распространял свою систему координат на отрицательные числа. Декарт оказался жертвой своего успеха соединения алгебры с геометрией. Отрицательные числа давно были полезны алгебраистам, даже западным. Они все время возникали при решении уравнений, таких как квадратные.

Линейное уравнение вроде 4x — 12 = 0 решить чрезвычайно легко, и проблемы такого рода не занимали алгебраистов надолго. Они вскоре обратились к более трудным проблемам — квадратным уравнениям, начинавшимся с выражения x 2, таким как x 2— 1 = 0. Квадратные уравнения сложнее линейных, кроме всего прочего, они имеют два различных корня. Например, уравнение x 2— 1 = 0 имеет два решения: 1 и –1. (Подставьте –1 или 1 в уравнение вместо x, и вы увидите, что получится.) Любое из этих решений работает, поскольку, как выяснилось, выражение x 2— 1 распадается на ( x — 1)( x + 1), делая ясным, что если x равен +1 или –1, x 2— 1 делается равным нолю.