Жак Адамар - Исследование психологии процесса изобретения в области математики

"Science et Méthode", p. 104.

H. Poincaré, "Valeur de la Science", p. 11.

F. Klein, "The Evanston Colloquium", p. 46.

"Revue des Deux Mondes", январь — февраль, 1915, p. 657.

Из-за таких взглядов на вещи Клейн считал необходимым изменить доказательство одной знаменитой теоремы Эрмита; в одном месте он даже заявляет, что «доказательство не является ещё достаточно простым, в нём видны ещё следы идей Эрмита»; и это привело его к новому изменению. На самом же деле эти «упрощения» являются поверхностными и после них, как и раньше, всё — абсолютно всё существенное — базируется на основной идее Эрмита.

Сам Пуанкаре, несмотря на явление озарения, о котором мы говорили, никогда не производил на меня такого впечатления. Когда я читал одну из его крупных работ, у меня складывалось впечатление, что, как она ни замечательна, её уже давно должны были бы сделать (что, очевидно, является заблуждением); в то время как работы Эрмита, вроде той, о которой я говорил, вызывали у меня следующую мысль: «Какие замечательные результаты! Как он мог додуматься до такой вещи!».

Ясно, что такое суждение является в некоторой степени субъективным: вывод, который мне кажется логическим, т. е. соответствующий моему мышлению, и который для меня естественен, может показаться другому интуитивным. Почти все математики должны казаться самим себе логиками. Например, меня спросили, как я мог догадаться использовать для интегрирования уравнений в частных производных приём «главной части расходящегося интеграла»; конечно, если этот приём рассматривать сам по себе, то он может показаться типичным примером «мышления около». Но в действительности мой рассудок долгое время противился такой идее, до тех пор, пока я не был вынужден этого сделать; я пришёл к ней шаг за шагом и читатель-математик легко проверит это, если возьмёт на себя труд посмотреть мои исследования по этому вопросу, особенно мои «Исследования о фундаментальных решениях и по интегрированию линейных уравнений в частных производных», 2-й мемуар, в частности, начиная со стр. 121 (Annales Scientifiques de l'Ecole Normale Supérieure, tome XXII, 1905). Я не мог избежать этого метода, как заключённый в поэме Эдгара По «Маятник и колодец» не мог избежать колодца в центре своей камеры.

Ошибка, которую, однако, не надо ставить в упрёк Пуанкаре (см. следующее замечание).

Неизвестно, сам ли Вейерштрасс начертил эту фигуру или он только описал её словесно, так как он излагал этот метод лишь в своих устных курсах и в течение многих лет метод оставался неизвестным для всех, кроме его учеников.

Вообще говоря, как замечают некоторые авторы (см. Meyerson, "Du cheminement de la Pensée", tome 1, цитируется по Henri Delacróix, "L'Invention et la Génie", p. 480), часто существует большая разница между открытием какой-нибудь идеи и её выражением в словах.

По форме, но не по существу, фраза в тексте несколько отличается от записи, сделанной Ферма. — Прим. ред.

К настоящему времени известно, что соотношение x m + y m = z m неразрешимо в целых числах для m ≤ 2521. — Прим. ред. [Это было в 1970 году. Через 25 лет появилась работа Эндрю Уайлса, а ещё через пару лет — книга Саймона Сингха. — E.G.A. ]

Такого рода подход в течение двух последних веков использовался наиболее знаменитыми математиками, начиная с Абеля. Все важные результаты, которые можно получить в этом направлении, видимо, получены; эти результаты весьма ограниченны. Академия Наук ежегодно получает несколько работ на эту тему, большинство из которых являются абсурдными, а в некоторых воспроизводятся уже известные результаты, полученные Абелем и другими.

Эти примеры Ферма и Римана относятся к арифметике. Арифметика, хотя с неё начинают преподавание в младших классах школы, оказывается одной из самых трудных (если не самой трудной) из математических наук, когда пытаются в неё углубиться. Существенные результаты в арифметике получают обычно тогда, когда арифметические вопросы сводят к высшей алгебре и к анализу бесконечно малых. (Арифметика у французских и немецких авторов часто применяется как синоним теории чисел. — Прим. ред. ).

Заметим, что на примере этого открытия Римана вновь можно наблюдать разницу между двумя видами интуиции, которые Пуанкаре считал идентичными. Вообще говоря, Риман обладал интуицией в высшей степени геометрического характера, как это отмечал Пуанкаре, однако в работе о простых числах, где интуиция Римана достигает вершин глубины и таинственности, геометрические элементы не играют существенной роли.