Яков Перельман - Математические головоломки

3 · 60 466 176 = 181 398 528

секунд. Это составляет более 50 000 часов, или почти 6300 восьмичасовых рабочих дней – более 20 лет.

Значит, шансов на то, что шкаф будет открыт в течение ближайших 10 рабочих дней, имеется 10 на 6300, или один из 630. Это очень малая вероятность.

Всем, вероятно, известно, как следует написать три цифры, чтобы изобразить ими возможно большее число. Надо взять три девятки и расположить их так:

99 9,

т. е. написать третью «сверхстепень» от 9.

Число это столь чудовищно велико, что никакие сравнения не помогают уяснить себе его грандиозность. Число электронов видимой Вселенной ничтожно по сравнению с ним. В моей «Занимательной арифметике» (гл. десятая) уже говорилось об этом. Возвращаюсь к этой задаче лишь потому, что хочу предложить здесь по ее образцу другую.

Тремя двойками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Под свежим впечатлением трехъярусного расположения девяток вы, вероятно, готовы дать и двойкам такое же расположение:

22 2.

Однако на этот раз ожидаемого эффекта не получается. Написанное число невелико – меньше даже, чем 222. В самом деле: ведь мы написали всего лишь 2 4, т. е. 16.

Подлинно наибольшее число из трех двоек – не 222 и не 22 2(т. е. 484), а

2 22= 4 194 304.

Пример очень поучителен. Он показывает, что в математике опасно поступать по аналогии; она легко может повести к ошибочным заключениям.

ЗАДАЧА

Теперь, вероятно, вы осмотрительнее приступите к решению следующей задачи.

Тремя тройками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Трехъярусное расположение и здесь не приводит к ожидаемому эффекту, так как

33 3, т. е. 3 27, меньше чем 3 33.

Последнее расположение и дает ответ на вопрос задачи.

ЗАДАЧА

Тремя четверками, не употребляя знаков действий, написать возможно большее число.

4 44,

РЕШЕНИЕ

Если в данном случае вы поступите по образцу двух предыдущих задач, т. е. дадите ответ

4 44,

то ошибетесь, потому что на этот раз трехъярусное расположение

как раз дает большее число. В самом деле, 4 4= 256, а 4 256больше чем 4 44.

Попытаемся углубиться в это озадачивающее явление и установить, почему одни цифры порождают числовые исполины при трехъярусном расположении, другие – нет. Рассмотрим общий случай.

Тремя одинаковыми цифрами, не употребляя знаков действий, изобразить возможно большее число.

Обозначим цифру буквой а . Расположению

2 22, 3 33, 4 44

соответствует написание

а 10 а + а , т. е. а 11 а .

Расположение же трехъярусное представится в общем виде так:

aa a .

Определим, при каком значении а последнее расположение изображает большее число, нежели первое. Так как оба выражения представляют степени с равными целыми основаниями, то бóльшая величина отвечает большему показателю. Когда же

а а > 11 а ?

Разделим обе части неравенства на а. Получим:

а а –1> 11.

Легко видеть, что а а –1больше 11 только при условии, что а больше 3, потому что

4 4–1> 11,

между тем как степени

3 2и 2 1

меньше 11.

Теперь понятны те неожиданности, с которыми мы сталкивались при решении предыдущих задач: для двоек и троек надо было брать одно расположение, для четверок и бóльших чисел – другое.

ЗАДАЧА

Четырьмя единицами, не употребляя никаких знаков математических действий, написать возможно большее число.

РЕШЕНИЕ

Естественно приходящее на ум число – 1111 – не отвечает требованию задачи, так как степень

11 11

во много раз больше. Вычислять это число десятикратным умножением на 11 едва ли у кого хватит терпения. Но можно оценить его величину гораздо быстрее с помощью логарифмических таблиц.

Число это превышает 285 миллиардов и, следовательно, больше числа 1111 в 25 с лишним млн раз.

ЗАДАЧА

Сделаем следующий шаг в развитии задач рассматриваемого рода и поставим наш вопрос для четырех двоек.

При каком расположении четыре двойки изображают наибольшее число?

РЕШЕНИЕ

Возможны 8 комбинаций:

Какое же из этих чисел наибольшее?

Займемся сначала верхним рядом, т. е. числами в двухъярусном расположении.