А. Мамедов - История и философия науки в вопросах и ответах. Учебное пособие для аспирантов сельскохозяйственных ВУЗов

Теорема Геделя о неполноте

В 1931 году Курт Гедельсовершил открытие, сделавшее его знаменитым. В то время Давид Гильберт и другие великие ученые пытались свести всю математику к системе аксиом. Но Гедельдоказал, что это не совсем реально.

В 1932 году появилась теорема Геделя, иначе называемая «Теорема о неполноте» (или «Теорема Геделя о неполноте»). Из теоремы Геделяследует, что не существует полной формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики.

Работа Геделяпроизвела эффект разорвавшейся бомбы. Она заставила Неймана прервать курс лекций в Геттингене, а Гильберта – прекратить работу над своей программой.

По утверждению Геделя, состоятельность и полноту какой-либо логической системы невозможно доказать с помощью вспомогательных средств самой этой системы. Можно, конечно, привлечь для доказательства методы более мощной системы, но сама эта более мощная система также не может доказать свою непротиворечивость своими методами, а значит, требуется следующая более мощная система.

Гедель утверждал, что состоятельность и полноту какой-либо логической системы можно установить, погружая исходную систему в систему более развернутую. Но Гедель показал, что при этом проблема состоятельности и полноты становится более сложнойиз-за усложнения логического языка, что приводит к спирали усложнений, к нескончаемой логической эскалации. Именно это и происходит также, когда человеческий разум занят своим привычным делом – размышлением.

Из теоремы Геделя следует, что при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения.

Выводы, которые сделал К. Поппер: «…вывод о невозможности универсального критерия истины является непосредственным следствием результата, полученного Тарским путем соединения теоремы Геделя о неразрешимости с его собственной теорией истины, согласно которому универсального критерия истины не может быть даже для относительно узкой области теории чисел, а значит, и для любой науки, использующей

арифметику. Естественно, что этот результат применим a prioriк понятию истины

в любой нематематической области знания, в которой широко используется арифметика» (Поппер)

Аксиоматический метод – это способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы (постулаты), из которых все остальные утверждения этой теории выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательства. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода. Следовательно, доказательство в аксиоматическом методе – это некоторая последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо получается из предыдущих формул по какому – либо правилу вывода. Этот метод имеет ограниченное применение, ибо требует высокого уровня развития аксиоматизированной содержательной теории.

Абстрагирование и идеализация.

Абстракции возникают на аналитической стадии исследования, когда начинают рассматривать отдельные стороны, свойства и элементы единого, целостного процесса. В результате образуются отдельные понятия, категории и суждения, которые служат для формулирования гипотез, законов и теорий.

На завершающей синтетической стадии все эти элементы, понятия, категории и законы объединяются в целостную теоретическую систему, обеспечивая тем самым достижение конкретного знания об определенной области действительности.

При абстрагировании отвлекаются от несущественных свойств и отношений и концентрируют внимание на существенных свойствах и отношениях.

Более сложный характер присущ абстракциям, связанным с образованием математических понятий. Пример: абстракция потенциальной осуществимости допускает построение следующего объекта n +1 при наличии предыдущего объекта n. На основе этого можно построить соответственно абстракции потенциальной и актуальной бесконечности (теория множеств Кантора и пр.).

Разновидностью абстрагирования является идеализация, которая представляет собой предельный переход от реально существующих свойств явлений и процессов к свойствам идеальным. Например, из физики известны такие идеализации как абсолютно упругое тело, идеальный газ и т.д., которые не существуют в реальном мире, и потому являются упрощениями, идеализациями, которые помогают лучше понять свойства объектов.