Микаэль Лонэ - Теорема зонтика, или Искусство правильно смотреть на мир через призму математики

Чтобы проверить ваше чувство чисел, я предлагаю вам небольшой эксперимент. Посмотрите на этот отрезок, на котором размещены два числа: тысяча и миллиард.

Теперь постарайтесь без раздумий, инстинктивно ответить на следующий вопрос: где на этом отрезке вы отметите миллион? Не бойтесь ошибиться, правильным будет любой ответ – важно узнать, как работает ваша интуиция с большими числами.

Итак, вы указали на отрезке точку, где, по вашему мнению, находится миллион. Давайте посмотрим, о чем нам это скажет.

Вероятнее всего, в поисках ответа ваш мыслительный процесс развивался поэтапно. Как только вы ознакомились с вопросом, ваш мозг интуитивно выдал ответ. Грубо и без анализа. Затем настал черед более сложных умозаключений. Вы вспомнили все, что знаете о числах тысяча, миллион и миллиард, и выбранная вами точка немного переместилась на отрезке. Или даже сильно переместилась. Влево или вправо? Вероятно, вы также приняли во внимание то, о чем мы говорили ранее. Возможно, вам показалось, что вопрос сформулирован не очень точно, что в нем есть какой-то подвох. Вы ответили на вопрос с точки зрения аддитивности или мультипликативности? Это что-то меняет в данном случае?

Каждый ответит на этот вопрос по-своему, но одна реакция будет превалировать – сначала представить миллион примерно на середине отрезка. Или немного левее середины, потому что заключить, что миллион ближе к тысяче, чем к миллиарду, можно достаточно быстро. Но по мере дальнейших размышлений над вопросом точка на отрезке будет смещаться левее, все ближе к тысяче.

Так в чем же дело? Прозвучит неожиданно, но миллион находится совсем рядом с тысячей. В заданном масштабе невооруженным глазом их даже не различить, и оба числа будут располагаться практически там же, где и ноль, если добавить на наш отрезок и его.

Конечно, в абсолютном выражении миллион – это большое число, но миллиард все же в тысячу раз больше! В таких масштабах даже миллион – это совсем немного. Если бы вы стояли в точке ноля, а миллиард находился в километре от вас, то миллион был бы от вас всего в одном метре, а тысяча – в одном миллиметре. А если взглянуть издалека, то покажется, что ноль, тысяча и миллион расположены в одной точке.

Тем не менее, как и в случае с расстоянием до Луны, математический вердикт интуитивно сложно принять. Если записать числа цифрами, миллион займет свою законную позицию посередине между тысячей и миллиардом.

Тысяча: 1000

Миллион: 1 000 000

Миллиард: 1 000 000 000

В миллионе на три нуля больше, чем в тысяче, и на три меньше, чем в миллиарде. Визуально, если мы уделяем внимание не самой величине числа, а длине его написания, у нас возникает откровенный соблазн поместить миллион в середину. Сама природа нашей системы счисления, как правило, заставляет нас думать мультипликативно. Визуальное впечатление было бы совсем иным, если бы эти числа записали римскими цифрами или если бы мы начертили палочки. В нашей системе единиц, десятков, сотен и т. д. добавление нуля приводит к тому, что представленное число умножается на десять, внося путаницу между сложением и умножением.

Таким образом, если мы расставим числа на отрезке, в соответствии с мультипликативным подходом, миллион будет точно посередине. И слева, и справа мультипликативный разрыв между числами будет равен тысяче.

Странно, что этот феномен не наблюдается, когда речь идет о не таких больших числах. Если бы я попросил вас разместить число 50 на отрезке от 1 до 100, вы без малейших колебаний поместили бы его посередине.

Надо заметить, что слова французского языка передают конфликт между аддитивным и мультипликативным.

У первых десятков есть свое название: двадцать, тридцать, сорок… Разница между названиями аддитивна. На каждом шаге мы прибавляем десять.

До 100 язык аддитивный.

Когда мы перевалим за 100, в дело вступает умножение. Для обозначения 200 или 300 отдельных слов нет. Мы просто говорим «две сотни» или «три сотни» [6] Во французском языке 200 и 300 буквально обозначаются как «два-сто» и «три-сто». – Прим. перев. . Как если бы мы говорили «два-десять» и «три-десять» вместо «двадцать» и «тридцать». Далее слова образуются с мультипликативной скоростью: тысяча, миллион, миллиард, триллион, квадриллион… Каждый из этих терминов в тысячу раз больше предыдущего.