Александр Петров - Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор

F = GMm / R 2,

здесь: M = (4π/3) R 3ρ – масса материи внутри сферы, ρ – плотность материи, распределенная однородно. Следовательно, ускорение

a = (4π/3) G ρ R = CR .

Таким образом, ускорение элемента в точке R пропорционально его расстоянию от центра и не зависит от радиуса шара R 0при любом, сколь угодно большом R 0. Это фактически означает, что соотношение справедливо для бесконечной однородной вселенной.

Но остается вопрос: решение было найдено для некоторого центра, в котором ускорение равно нулю, а в других точках имеет вполне определенную величину и направлено к центру. А где такой центр в бесконечной однородной вселенной? На самом деле, никакого выделенного центра нет или, если угодно, таким центром может быть любая точка. Возьмем произвольную точку О′ , находящуюся на некотором расстоянии R О′ от «нашего» центра, ускорение которой a О′ = – С R О′ . Радиус-вектор и ускорение направлены, разумеется, в разные стороны. Перейдем в систему координат с центром в точке О′ (рис. 9.5). Величины в этой новой системе координат будем обозначать штрихом.

Рис. 9.5. Переход к другой системе координат

Ускорения в старой и новой системах координат связаны правилом Галилея, которое, если кто забыл, справедливо не только для скоростей, но и для ускорений:

a′ A = a A – a О′ .

Подставляя в это соотношение выражение для ускорений a A= – C R Aи a О′ = – С R О′ и используя правило сложения векторов R ′ A = R A – R O′ (рис. 9.5), получим:

a′ A= – C R′ A .

Следовательно, наблюдатель в точке О′ будет видеть ту же картину – все частицы материи имеют ускорение, направленное к нему. Ситуация несколько непривычная – ускорение направлено к центру, но центр «виртуальный», им всегда является точка, в которой находится наблюдатель. Такая ситуация концептуально отличается от ньтоновой, в которой предполагается наличие выделенного пространства, общего для всех наблюдателей.

В приведенном выше расчете распределения ускорений в однородной вселенной не учитывались начальные скорости. Очевидно, что если начальное состояние статично , т. е. скорости нулевые, то вселенная начнет сжиматься, плотность и ускорения будут расти.

Рассмотрим ситуацию, когда есть некоторые начальные скорости, направленные от наблюдателя (от «центра»). Для сохранения однородности в постановке задачи необходимо, чтобы начальная скорость была пропорциональна расстоянию от наблюдателя:

V = HR ,

здесь H – коэффициент пропорциональности.

Вселенная будет расширяться, но скорость расширения будет падать. Из-за расширения будет уменьшаться плотность, а, следовательно, и ускорение. Что «пересилит»? Если начальная плотность достаточно велика, или, если угодно, мала начальная скорость, расширение через некоторое время сменится сжатием. При достаточно большой начальной скорости расширение будет продолжаться вечно. Качественно ситуация аналогична, например, рассмотрению стартовавшей с Земли ракеты. При скорости, большей второй космической, ракета может преодолеть притяжение и улететь на бесконечность.

В нашем случае также можно определить критическое распределение скоростей, в данном случае это параметр H к , при превышении которого сжатие никогда не наступит. Его значение определяется соотношением:

3 H к 2= 8π G ρ.

Но точно так же, можно оперировать с критической величиной плотности, рассчитывая ее по отношению к параметру H. Именно так делается при анализе решений Фридмана. Мало того, это соотношение для определения критической плотности полностью совпадает с фридмановским, см. Дополнение 8.

Подведем итог. Оказывается, что законы расширения, определенные Фридманом, полностью совпадают с описанием, представленным только что на основе ньютоновых законов. Таким образом, еще Ньютон мог представить картину расширения, соответствующую моделям Фридмана. По этому поводу приведем слова Зельдовича: «Величие открытия Фридмана заключается, может быть, не столько в применении общей теории относительности, сколько в отказе от предвзятого представления о стационарности Вселенной».