Нил Тайсон - Добро пожаловать во Вселенную

Посмотрим, получится ли у нас вычислить все это без калькулятора.

Запишем, что 24 100/4, а 365/4 90, поэтому получается

90 100 3600.

90 3600 320 000, так что окончательный результат составит 3,2 107 секунд. Точный ответ, согласно калькулятору (и с учетом того, что в году

365,2422 суток), равен 3,1557 107 секунд — очень близко! Эту величину мы часто выражаем приближенно как 107 секунд. См. также задачу 2.

Отлично, тогда скорость движения Земли по орбите равна

8 расстояние 2π×1,5×10 км км скрость =

=

= 30.

7 время

π×10 с с

Вдумайтесь: и вы, и все остальные земляне в этот самый миг движутся в пространстве со скоростью 30 километров в секунду!

163

Решения

10. bТеперь нам нужно вычислить, сколько километров в 4 световых годах. Полезно знать эту величину для 1 светового года; потом будет несложно умножить ее на 4. Мы только что проделали работу по вычислению, сколько секунд в году, а расстояние мы получим, умножив это время на скорость света:

107 с 3 105 км/с 1013 км,

где мы приближенно приняли, что 3 = 10. Это уж точно полезное число: 1 световой год равен 10 триллионам километров! Так что 4 световых года —

это просто в 4 раза больше, то есть 4 1013 км.

10. сПонятно, что со скоростью 30 километров в секунду на преодоление расстояния в 4 световых года уйдет очень много времени. Можно проделать арифметические вычисления обычным способом, но давайте попробуем немного схитрить — просто чтобы показать вам очередной фокус. (Немного потрудившись над алгеброй, можно сэкономить очень много сил на арифметике. Помните, что арифметика зачастую труднее алгебры!) Мы хотим вычислить время в пути, зная скорость (30 км/с) и расстояние

(4 световых года). Попробуем поступить вот как:

5 расстояние 4 световых года

⎛ 3 ×10 км/с ×1 год⎞

время =

=

= 4 ×

.

скорость

30 км / с

⎜

30 км / с

⎟

⎝

⎠

Обратите внимание, как мы записали световой год: у нас получились километры в секунду и в числителе, и в знаменателе (и сверху, и снизу), и мы их сокращаем, оставив только годы, которые нам и нужны. Этот фокус избавил нас от усилий, которые потребовались бы, если бы мы вычислили время в секундах и еще раз поделили его на количество секунд в одном годе (хотя, признаться, и это не очень трудно).

Арифметика очень проста; у нас получилось 40 000 лет. Можно взглянуть на все это и с другой стороны: 30 км/с — это 10–4 от скорости света, поэтому на то, чтобы преодолеть с такой скоростью световой год, нужно

10 000 лет, а на 4 световых года нужно 40 000 лет.

164

Решения

11. Атмосфера Земли

11. аЭта плотность равна массе кубического метра воздуха. А эта масса равна числу молекул N, помноженному на массу одной молекулы. Одна

2 молекула состоит из двух атомов N и, таким образом, имеет массу в 28 раз больше массы водорода (массу которого иногда называют атомной единицей массы, или а. е.м.). Тогда

25 молекул

28 а. е.м

27

−

кг плотность воздуха = 3×10

×

×1,6×10

.

3 м молекул а. е.м

Прежде чем браться за калькулятор, задумаемся, что нам дано количество молекул в кубическом метре лишь с точностью до одной значащей цифры, поэтому мы можем проводить вычисления с этой точностью. Вспомним, что 1,6 5/3. Тройки сокращаются, и у нас остается

5 28 10–2 кг/ м3 1,5 кг/ м3.

Точная величина плотности воздуха при комнатной температуре на уровне моря составляет 1,225 кг/ м3. Мы были очень близки!

11. bТребуемый объем — это площадь поверхности Земли, 4 r 2, умноженная на толщину слоя:

объем = 8 км 4 (6400 км)2.

Попытаемся вычислить это без калькулятора, ведь мы помним, что ответ должен быть с точностью только до одной значащей цифры (поскольку толщина слоя дана нам с точностью до одной значащей цифры). С точностью до одной значащей цифры 642 4000, поэтому получаем объем 8 4 3 4 103 104 км3 4 109 км3.

Далее, в задаче не указано, в каких единицах должен быть выражен ответ, однако в части с) этой задачи нам потребуется умножить объем на плотность воздуха, а она выражена в кг/м3. Поэтому полезно будет перевести результат в кубические метры. В одном километре 103 метра, так что

1 кубический километр равен (103)3 = 109 кубическим метрам. Поэтому, чтобы

165

Решения перевести из кубических километров в кубические метры, нам нужно умножить полученный результат на 109, после чего получим объем = 4 1018 м3.

Более точный расчет объема земной атмосферы можно получить, если вычислить объем сферы радиусом 6400 + 8 километров, а затем вычесть из полученной величины объем сферы радиусом 6400 километров. При этом мы получили бы примерно такой же ответ, а сил ушло бы гораздо больше.