Мартин Гарднер - Есть идея!

Найти все остальные решения мы предоставляем читателю. Додуматься до 10 решений, одно из которых предложил проф. Квиббл, не составит особого труда, но найти еще 5 решений (всего существует 15 решений задачи) не так-то просто: необходимо «озарение».

После того как вам удастся найти все 15 решений, попробуйте обобщить задачу, варьируя число монет, стаканов и отличительные особенности числа монет, разложенных по стаканам.

Основная идея «счастливой находки», позволившей решить задачу проф. Квиббла (элементы какого-то множества принадлежат другому множеству и при подсчете учитываются дважды), встречается во многих известных головоломках и парадоксах. Приведем лишь одну из таких задач, носящую шуточный характер.

После того как один школьник пропустил целую неделю занятий, его навестил учитель. Школьник принялся объяснять, почему ему некогда ходить в школу.

— Я сплю 8 часов в сутки. Это составляет 8 × 365 = 2920 часов в году, или, так как в сутках 24 часа, 2920: 24 (около 122) суток.

По субботам и воскресеньям школа не работает, что составляет за год 104 дня.

60 дней в году приходятся на летние каникулы.

На завтрак, обед и ужин у меня уходит 3 часа в день, то есть 3 × 365 = 1095 часов, или 1095: 24 (около 45 суток) в год.

По крайней мере 2 часа в день мне необходимы для отдыха, что составляет 2 × 365 = 730 часов, или 730: 24 (около 30 суток) в год.

Школьник выписал названные им числа в столбец и просуммировал:

На сон — 122

Субботы и воскресенья — 104

Летние каникулы — 60

Завтраки, обеды и ужины — 45

Отдых — 30

Итого — 361 день

— Видите, — продолжал школьник, — у меня остается всего-навсего 4 дня в год на болезни, а о праздниках я и не говорю!

Учитель внимательно проверил все выкладки, но не смог обнаружить в них ошибки. Проверьте этот парадокс на своих приятелях. Многие из них сумеют найти ошибку? А ошибка кроется в том, что некоторые подмножества дней года сосчитаны более одного раза: множества, на которые школьник разбил 365 дней в году, перекрываются (пересекаются) так же, как множества монет в стаканах проф. Квиббла.

На лужайке перед домом мистер Джонсон соорудил небольшую плиту, иа которой за один час можно поджарить 2 ромштекса. Его жена и дочь Бетси очень проголодались и хотят поесть как можно скорей. Как быстрее всего поджарить 3 ромштекса?

Мистер Джонсон. Чтобы поджарить с двух сторон 1 ромштекс, требуется 20 мин (по 10 мин на каждую сторону). Значит, за 20 мин можно приготовить 2 ромштекса. Еще 20 мин мне понадобится, чтобы поджарить третий ромштекс, поэтому всего на приготовление 3 ромштексов придется затратить 40 мин.

Бетси. Папочка, ромштексы можно поджарить гораздо быстрее! Я только что придумала, как можно сэкономить 10 мин.

Какая удачная мысль позволила Бетси сократить приготовление обеда на 10 мин?

Чтобы объяснить предложенное Бетси решение, обозначим ромштексы A, B и C , а их стороны — цифрами 1 и 2. За первые 10 мин следует поджарить стороны А 1 и В 1.

Отложим ромштекс B в сторону и поджарим за следующие 10 мин стороны A 2 и C 1. К концу 20-й минуты ромштекс A будет готов.

Еще через 10 мин поджарятся стороны B 2 и C 2. Таким образом, на приготовление всех 3 ромштексов уйдет всего 30 мин, что и утверждала Бетси.

Рассмотренная нами простая комбинаторная задача относится к одному из разделов современной математики, известному под названием «исследование операций». На ее примере хорошо видно, что если серию операций необходимо произвести в кратчайший срок, то оптимальная последовательность операций может оказаться не вполне очевидной. Последовательность, которая на первый взгляд кажется оптимальной, в действительности может допускать существенное усовершенствование. В нашей проблеме удачная мысль сводится к тому, что после того, как ромштекс поджарен с одной стороны, отнюдь не обязательно тотчас же поджаривать его с другой стороны.