Норберт Винер - Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Задолго до выхода в свет «Кибернетики» стало ясно, что изучение нелинейных цепей (таких, какие мы находим в различных усилителях, ограничителях напряжения, выпрямителях и т. д.) не умещается в эти рамки. Тем не менее за отсутствием лучшей методики предпринимались многочисленные попытки распространить линейные понятия прежней электротехники далеко за те границы, в которых они допускали естественное представление новых элементов.

Когда около 1920 г. я пришел в МТИ, обычный способ подхода к нелинейным устройствам состоял в том, что искалось расширенное понятие импеданса, которое охватывало бы как линейные, так и нелинейные системы. В результате нелинейная электротехника пришла в состояние, подобное состоянию птолемеевой системы астрономии в последний период ее существования, когда нагромождали эпицикл на эпицикл, поправку на поправку, пока все это латаное сооружение не рухнуло под собственной тяжестью. [c.30]

Как из крушения перенапряжений птолемеевой системы возникла коперникова система с ее простым и естественным гелиоцентрическим описанием движений небесных тел, заменившим сложную и запутанную картину геоцентрической птолемеевой системы, так и для изучения нелинейных устройств и систем, электрических или механических, естественных или искусственных была необходима совершенно новая отправная точка. Я попытался нащупать новый подход в своей книге «Нелинейные задачи в теории случайных процессов» [80] Wiener N. Nonlinear Problems in Random Theory. — New York: The Technology Press of М.I.T. and John Wiley & Sons, 1958 (русский перевод: Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. — М.: ИЛ, 1961. — Ред. ). .

Оказывается, что с переходом к нелинейным явлениям тригонометрический анализ теряет ту ведущую роль, которая ему принадлежит в изучении линейных явлений. Это имеет четкое математическое объяснение. Процессы в электрических цепях, как и многие другие физические явления, характеризуются инвариантностью при сдвиге начала отсчета во времени. Физический опыт, начатый в полдень и достигший определенного состояния к 2 часам дня, должен достигнуть такого же состояния к 2.15, если мы начнем его в 12.15. Таким образом, физические законы говорят об инвариантах группы сдвигов во времени.

Тригонометрические функции sin nt и cos nt обнаруживают важные инвариантные свойства относительно той же группы сдвигов. Функция общего вида e it перейдет в функцию

e iω(t+τ)= e iωτe iωt

того же вида при сдвиге, который получается прибавлением τ к t . Как следствие,

a cos n ( t + τ) + b sin n ( t + τ) = ( a cos n τ + b sin n τ) cos nt + ( b cos n τ — a sin n τ) sin nt =

= a 1cos nt + b 1sin nt .

Иными словами, семейства функций

Ае iωt и A cos ωt + B sin ωt

инвариантны при сдвиге. [c.31]

Но существуют и другие семейства функции, инвариантные при сдвигах. Если рассматривать так называемое случайное блуждание, когда перемещение частицы за любой промежуток времени имеет распределение, зависящее от длительности этого промежутка и не зависящее от событий, происшедших до его начала, то ансамбль случайных блужданий также перейдет в себя при временном сдвиге.

Иными словами, инвариантность при сдвигах — это свойство тригонометрических кривых, которым обладают также другие множества функций.

В дополнение к этой инвариантности, тригонометрические функции характеризуются свойством

Ае iωt + Ве iωt = (А + В)е iωt

благодаря которому они образуют чрезвычайное простое линейное множество. Легко заметить, что это свойство связано с линейностью, т. е. мы можем свести все колебания данной частоты к линейной комбинации двух колебаний. Именно это специфическое свойство обусловливает роль гармонического анализа при изучении линейных свойств электрических цепей. Функции

е iωt

суть характеры группы переносов и дают нам линейное представление этой группы [81] О группах и характерах групп см. ниже гл. II — Прим. ред. .

Но когда мы обращаемся к другим комбинациям функций, нежели сложение с постоянными коэффициентами, например к перемножению функций, то простые тригонометрические функции уже не обнаруживают этого элементарного группового свойства. С другой стороны, случайные функции, такие, как при случайном блуждании, обладают определенными свойствами, весьма полезными при рассмотрении их нелинейных комбинаций.