Шинтан Яу - Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Кроме того, в первой статье Грина и Плессера, посвященной зеркальной симметрии, была выдвинута ключевая идея о том, что взаимодействия Юкавы можно представить при помощи двух различных математических формул, одна из которых будет описывать исходное многообразие, а вторая — его зеркальную пару. Первая из этих формул, включающая в себя число рациональных кривых различных степеней, которые можно было обнаружить на многообразии, по словам Грина, была просто «кошмарной». Со второй формулой, зависящей от формы многообразия в более общем виде, работать было намного проще. Однако так как обе формулы описывали один и тот же физический объект, они должны быть эквивалентными — подобно словам «кот» и «cat», которые имеют различный вид, но описывают одно и то же пушистое существо. Статья Грина и Плессера содержала уравнение, из которого напрямую следовала эквивалентность этих двух столь различных формул.

Рис. 7.6.Выдающимся достижением геометрии XIX века стало доказательство математиками Артуром Кэли и Джорджем Сэлмоном утверждения, что поверхность третьего порядка, приведенная на рисунке, содержит ровно 27 прямых. Герман Шуберт впоследствии обобщил этот результат, получивший название теоремы Кэли-Сэлмона (изображение предоставлено 3D-XplorMath Consortium)

Рис. 7.7.Подсчет числа прямых или кривых на поверхности является обычной задачей алгебраической и нумеративной геометрии. Чтобы лучше понять, что подразумевается под числом прямых на поверхности, рассмотрим приведенный на рисунке дважды линейчатый гиперболоид как поверхность, полностью состоящую из прямых. Он называется дважды линейчатым, поскольку через каждую его точку проходят две различные прямые линии. Подобная поверхность плохо подходит для нумеративной геометрии по причине бесконечного числа прямых, которые можно на ней провести (фотография Карена Шаффнера, математический отдел Аризонского университета)

Рис. 7.8.Задача Аполлония, одна из наиболее известных задач в геометрии, посвящена вопросу о числе способов, которыми можно нарисовать окружность, касательную к трем заданным. Постановка задачи и первое решение приписывается греческому математику Аполлонию Пергскому (приблизительно 200 год до нашей эры) На рисунке приведены восемь решений этой задачи — восемь различных касательных окружностей. Спустя две тысячи лет математик Герман Шуберт рассмотрел аналогичную задачу в трехмерном пространстве, показав, что построить сферу, касательную к четырем заданным сферам, можно шестнадцатью способами

«Даже если у тебя есть уравнение, в достоверности которого с формальной точки зрения ты не сомневаешься, решить его с достаточной точностью и получить ответ в виде числа может оказаться сложной задачей, — замечает Грин. — У нас было уравнение, но не было инструментов для получения определенного числа. Канделас и его сотрудники разработали эти инструменты, что стало крупнейшим достижением, оказавшим огромное влияние на геометрию». [104] Greene, interview with author, March 13, 2010.

Работа Грина и Плессера наглядно иллюстрирует всю мощь зеркальной симметрии. Теперь можно было не утруждать себя подсчетом числа кривых в пространстве Калаби-Яу, поскольку, проведя совершенно другое вычисление — с виду не имеющее ничего общего с работой по подсчету кривых, — можно было получить тот же ответ. Когда Канделас и его коллеги применили этот подход к расчету количества кривых третьего порядка на трехмерной поверхности пятого порядка, они получили число 317 206 375.

Наш интерес, однако, заключался не столько в определении количества рациональных кривых, сколько в исследовании многообразия как такового. Дело в том, что в процессе подсчета мы по сути дела перемещаемся по кривым, используя хорошо разработанные методики, до тех пор пока не проходим все пространство. В ходе этой процедуры мы фактически определяем пространство — неважно, будет это трехмерная поверхность пятого порядка или какое-либо другое многообразие, — в терминах данных кривых.

Результатом всего вышесказанного стало второе рождение уже порядком подзабытой области геометрии. По словам Марка Гросса, математика из Калифорнийского университета, идея использования зеркальной симметрии для решения задач нумеративной геометрии, впервые предложенная Канделасом и его сотрудниками, привела к возрождению целой дисциплины. «К тому времени эта область исследований почти полностью исчерпала себя, — говорит Гросс. — Когда все старые задачи были решены, ученые занялись перепроверкой чисел Шуберта при помощи современных вычислительных технологий, но это занятие едва ли можно было назвать увлекательным. И вдруг, как гром с ясного неба, Канделас заявил о разработке ряда новых методов, выходящих далеко за пределы того, что мог представить себе Шуберт». [105] Mark Gross (UCSD), interview with author, October 31, 2008. Физики многое заимствуют из математики, а вот математики, прежде чем заимствовать из физики метод Канделаса, прежде всего потребовали более детального обоснования его строгости.