Жуан Гомес: Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

* * *

В евклидовой геометрии имеется признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, который работает следующим образом.

Пусть у нас имеются два треугольника АВС и А 1В 1С 1 со сторонами соответственно АВ, АС, ВС и А 1В 1, A 1C 1, B 1C 1 . Тогда, если АВ = A 1B 1, АС = А 1С 1 и угол ВАС равен углу В 1A 1С 1 , то сторона ВС равна стороне B 1C 1 , то есть треугольники равны.

Другими словами, если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то третьи стороны в треугольниках также будут равны. Такие треугольники равны. Однако этот очевидный результат оказывается ложным в геометрии такси.

Рассмотрим треугольники с вершинами А = (3,1), В = (1, 3), С = (5, 3) и А 1 = (4, 4), В 1 = (8, 4), С 1 = (4, 0), как изображено на рисунке:

Можно показать, что

d T( A, B ) = 4 = d T( A 1, B 1 ),

а также

d T( A, C ) = 4 = d T( A 1, C 1 ),

Таким образом, по формуле расстояния такси b = b 1 и с = с 1 . Обратите внимание, что угол ВАС также равен углу В 1А 1С 1 (в данном примере они равны 90°). Несмотря на выполнение условий признака равенства, стороны а и а; наших треугольников имеют разную длину. Это совершенно разные треугольники, так что для них признак равенства треугольников из евклидовой геометрии не работает.

Круги встречаются повсеместно, как в естественных, так и в искусственных мирах, и, следовательно, это, пожалуй, простейшая из геометрических фигур, и ее легче всего описать. Подумав о круге, мы сразу вспоминаем множество круглых объектов, так что нам совсем нетрудно представить себе эту форму. Например, если взять колесо велосипеда, очевидно, что все спицы имеют одинаковую длину, иначе было бы невозможно на нем ездить. Все спицы одинаковой длины, потому что все точки на ободе находятся на одном и том же расстоянии от центра. Теперь сформулируем точное определение окружности на плоскости.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки на заданное расстояние, называется окружностью.

Данная фиксированная точка называется центром окружности, а заданное расстояние — радиусом окружности.

Таким образом, если мы выберем точку Р на окружности (с центром в точке А и радиусом r ), то d( P, А ) = r . Например, если центр находится в точке (2, -1), а радиус равен 3, то все точки Р , удовлетворяющие нашему соотношению для А и r , образуют окружность.

На приведенном выше рисунке для изображения точек окружности использовалась формула евклидова расстояния, но если применять формулу расстояния такси, то получится совсем другой, очень странный результат, как можно видеть на следующем рисунке.

Мы можем проверить, что точки Р на этой «окружности» такси действительно удовлетворяют соотношению d T= ( Р, А ) = r при А = (2, -1) и r = 3. В геометрии такси возможно то, что всегда казалось абсурдным: мы можем круг превратить в квадрат!

Если вычислить длину окружности нашего такси-круга по классической формуле l = 2 · π · r , то мы получим l = 2 · π · 3 = 18,849. Однако по формуле расстояний такси длина окружности составит 6 + 6 + 6 + 6 = 24 единицы, и, кроме того, результат совсем не будет содержать π .

Многие другие формы, известные из геометрии Евклида, выглядят странно в геометрии такси. Например, эллипс представляет собой множество точек, расположенных вокруг двух фиксированных точек, называемых фокусами. Сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов постоянна. Круг является частным случаем эллипса, когда оба фокуса находятся в одной точке.

В следующем примере фокусами являются точки А = (—3, 0) и В = (3, 0), а большая ось эллипса (наибольший диаметр) составляет 10 единиц. Следовательно, эллипс состоит из всех точек Р , удовлетворяющих условию d( P, А ) + d( P, В ) = 10: