Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Когда мы путешествуем по поверхности сферы или выполняем на ней какие-то измерения, мы находимся во Вселенной, в которой работает эллиптическая геометрия. Если мы будем двигаться со скоростью, близкой к скорости света, нам придется воспользоваться геометрией Минковского в пространстве-времени. Однако все говорит о том, что человеческие существа живут в гиперболическом мире. Гипотеза Брентано, названная в честь немецкого психолога Франца Брентано(1838–1917) , утверждает, что люди склонны преувеличивать малые углы и приуменьшать большие. Эта гипотеза была доказана эмпирическим путем. Также большинство оптических иллюзий и классических экспериментов по восприятию показывают, что люди воспринимают пространство как гиперболическое.

До XIX в. вопрос о «правильной» геометрии прозвучал бы совершенно абсурдно, даже непонятно. Результаты открытия неевклидовой геометрии и теории относительности настолько впечатляют, что не возникает никаких сомнений в том, что новые геометрии являются основой важнейших научных теорий последних лет, которые в буквальном смысле изменили место человека во Вселенной. Новые геометрии применяются и в астрономических масштабах теории относительности, и в мини-мирах атомных ядер.

Однако все это не означает, что от геометрии Евклида следует отказаться как от бесполезного пережитка прошлого. Евклидова геометрия по-прежнему является наиболее практичной в повседневной жизни: именно она помогает решать нам основные задачи. Вовсе не обязательно использовать гиперболическую геометрию, чтобы переставить мебель в комнате — если, конечно, дом не находится на псевдосфере.

До сих пор мы рассматривали основные понятия неевклидовых геометрий, а также исторические обстоятельства их появления и биографии первооткрывателей. В этой главе мы разберем одну из них более подробно, обращая внимание на математические последствия отказа от пятого постулата Евклида.

Для начала мы изложим основные результаты Бойяи и Лобачевского, чтобы лучше понять, как выглядит и работает их геометрия, но мы, конечно, не будем приводить полный перечень всех теорем и доказательств.

Наиболее важным результатом являются изменения в восприятии пространства человеческим разумом. Графические иллюстрации, конечно, играют вспомогательную роль и не являются строгими математическими аргументами, хотя они помогают наглядно пояснить эти понятия.

Как мы уже видели, гиперболическая геометрия является неевклидовой, когда пятый постулат о параллельных прямых заменен следующим: через точку Р вне прямой l можно провести по крайней мере две прямые, параллельные данной. Этот так называемый гиперболический постулат о параллельных прямых может быть проиллюстрирован двумя способами. Оба они эквивалентны и показаны на следующем рисунке:

Из этой гипотезы вытекают различные понятия, лежащие в основе гиперболической геометрии. Мы начнем с основной теоремы.

Результат, связанный с углами параллельности, считается основной теоремой гиперболической геометрии. Начнем со следующего рисунка:

Через точку Р вне данной прямой l проходят по крайней мере две прямые, m и n , параллельные l , так что все прямые внутри области I пересекаются с прямой l , а прямые в области II не пересекаются с прямой l . Это означает, что существует бесконечное число прямых, проходящих через точку Р и не пересекающих прямую l . Две крайние параллельные l прямые, тип, разграничивают две области (I и II).

Таким образом, область I ограничена линиями тип, образующими угол ( β , который меньше двух прямых углов (180°), как видно на предыдущем рисунке.

Угол β/2= αназывается углом параллельности. Обратите внимание, что α является острым углом (меньшим, чем прямой угол). Это важный факт, так как в евклидовой геометрии такие углы всегда прямые.

На рисунке из точки Р на прямую l опущен перпендикуляр, а расстояние от точки Р до прямой l обозначено буквой d . Мы видим, что угол ОС зависит от длины d (напомним, что мы рассматриваем не плоскую поверхность), так что