Бизенц Торра - Том 15. От абака к цифровой революции. Алгоритмы и вычисления

Джин Гийу в 1966 году установил новый рекорд, вычислив 250 000 знаков за 41 час 55 минут. Он же в 1967 году получил 500 000 знаков за 28 часов 10 минут.

Впечатляющий показатель в миллион знаков был достигнут усилиями Джина Гийу и Мартина Буйе в 1973 году. Они использовали компьютер CDC 7600 компании Control Data Corporation — конкурента IBM на рынке компьютеров второго поколения (в них использовались транзисторы), которые выпускались в 1960-е. За 23 часа 18 минут было вычислено 1001250 знаков 71.

В 1980-е главную роль играли японцы Ясумаса Канада и Казунори Миёши: в 1981 году им удалось преодолеть отметку в 2 миллиона знаков за 137 часов, в 1982-м — 8 миллионов за 6 часов 52 минуты, в 1983-м — 16 миллионов менее чем за 30 часов, в 1987-м на японском компьютере NEC SX-2 им удалось вычислить 100 миллионов знаков за 35 часов 15 минут. В 1989 году Григорий Чудновский, который считается одним из лучших среди ныне живущих математиков, и его брат Давид вычислили свыше миллиарда знаков 71 на компьютере IBM 3090.

Отметку в триллион знаков преодолел Ясумаса Канада и возглавляемая им группа, которая использовала компьютер HITACHI SR8000/MPP. Этот рекорд был установлен в Токио в декабре 2002 года. Для вычисления 1241100000000 знаков потребовалось 600 часов, то есть 25 суток вычислений, что соответствует скорости 574583 знака в секунду. В апреле 2009 года японец Дайсуке Такахаши из университета Цукуба вычислил более 2 триллионов знаков за 29,09 часа. Нынешний рекорд, который составляет почти 2,7 триллиона знаков [2] Данные на 31.12.2009 года. 19 октября 2011 года Александр Йи и Сигэру Кондо вычислили 10 триллионов знаков после запятой. , удерживает французский программист Фабрис Беллар, который использовал обычный персональный компьютер под управлением операционной системы Linux. На выполнение расчетов ему потребовался 131 день.

Большинство этих результатов были получены благодаря открытиям удивительного и загадочного индийского математика Сринивасы Рамануджана(1887–1920). Один из полученных им рядов, опубликованный в 1914 году, дает 8 новых знаков π на каждый член ряда. Этот ряд записывается так:

На основе результатов, полученных Рамануджаном, были найдены ряды, которые сходятся еще быстрее и позволяют получить несколько верных знаков числа π для каждого члена ряда. Братья Джонатан и Питер Борвейн, канадцы шотландского происхождения, открыли ряд, каждый член которого дает 31 новый знак π .

Остальные результаты, среди которых выделяются достижения Ясумасы Канады, получены с помощью формулы Карла Фридриха Гаусса(1777–1855) , в которой устанавливается связь между числом π и средним арифметико-геометрическим. Формула Гаусса записывается следующим образом:

В этой формуле MAG( а, Ь ) — это среднее арифметико-геометрическое чисел а и Ь .

Равенства, недавно полученные Дэвидом Бэйли, Питером Борвейном и Саймоном Плуффом, представляют собой наиболее интересные выражения, связанные с числом π . В 1997 году эти исследователи опубликовали ряд формул, которые позволяют вычислить любой знак двоичной записи π без необходимости вычислять предшествующие ему знаки. Эти же формулы, очевидно, можно использовать для расчета знаков π в любой системе счисления по основанию, кратному двум, в частности в шестнадцатеричной системе счисления. Авторы подтвердили корректность своего метода, вычислив миллионный, 10-миллионный, 100-миллионный, миллиардный и 10-миллиардный знаки шестнадцатеричной записи π . В результате были получены следующие шестнадцатеричные числа.

* * *

СРЕДНЕЕ АРИФМЕТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ

Среднее арифметико-геометрическое определяется на основе двух сходящихся рядов: один из них образован средними арифметическими, другой — средними геометрическими. Напомним выражения для вычисления обеих средних величин:

МА( а, Ь ) = ( a + b )/2

MG( a, b ) = √( a·b) .

Первые члены рядов mаи mg определяются так: ma 1 = МА( a, b ), mg 1 = MG( а, b ). Члены ряда в общем виде определяются так:

ma n+1 = МА( ma n, mg n),

mg n+1 = МG( ma n, mg n)

Эти два ряда сходятся к одному и тому же значению — среднему арифметико-геометрическому MAG( а, Ь ).