Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Споры о дискретном и непрерывном вращаются вокруг понятия бесконечности, поэтому неудивительно, что они протекают скорее в философской плоскости, подобно противостоянию между пифагорейской и элейской школами в Древней Греции, которое ярче всего проявилось в парадоксах Зенона.

Ключевой вопрос состоит в том, является наш мир дискретным или непрерывным. Ответ на него очень сильно зависит от наших ощущений и, как следствие, лежит в плоскости теории познания. Не предаваясь философским размышлениям и не углубляясь в психологию, в начале XX века физики и математики сделали свой выбор в пользу концепции дискретного мира: появилась квантовая механика и так называемая дискретная математика.

Говорят, что важнейшее различие между наукой и технологией состоит в том, что первая меняет наше видение мира, вторая — наш образ жизни в этом мире. Можно утверждать, что изобретение механических часов стало одним из ключевых моментов в истории человечества и оказало наибольшее влияние на жизнь людей. Кроме того, благодаря часам, в создании которых математика сыграла определяющую роль, время перестало быть непрерывным и превратилось в дискретный ряд интервалов.

Первые механические часы появились в XIV веке (в Китае — в X веке), и сегодня они считаются устаревшими. Стрелки этих часов приводились в движение противовесом, который опускался под действием силы тяжести. Противовес подвешивался на веревке, намотанной на цилиндр, при движении противовеса цилиндр вращался и приводил в действие часовой механизм. У первых часов не было ни циферблата, ни стрелок, и время отмерялось ударами колокола. Мы говорим, разумеется, о больших городских часах. Во многих языках слово «часы» также означает «колокол», как, например, английское clock или французское cloche . В колокола бил звонарь, который следил за ходом времени.

Само собой разумеется, что точность этих часов оставляла желать лучшего, но не из-за несовершенства часовых механизмов, а из-за действия законов элементарной физики. Противовес, который приводил в движение механизм, опускался неравномерно: под воздействием силы тяжести его скорость постепенно возрастала. Эту проблему удалось решить с помощью остроумного изобретения — часового спуска.

Он состоял из зубчатого колеса, анкера и маятника. Анкер одним концом цеплялся за колесо и раскачивался под действием маятника. Так появились знакомые всем нам звуки «тик-так», обозначающие интервалы времени, которым подчиняется жизнь большинства людей.

Изображенный на рисунке спусковой механизм позволял отмерять время намного точнее. При равномерном вращении колеса палета поочередно наклоняется то в одну, то в другую сторону. При каждом колебании она сдвигает спусковое колесо на один зуб, задавая ритм работы всего часового механизма.

Однако требовалось решить другую серьезную задачу: темп времени, отсчитываемый часами, должен был оставаться неизменным. Проблема заключалась в том, что первые отмеряемые часы были длиннее последних, то есть по мере того, как веревка подходила к концу, часы начинали спешить. Причина этого состояла в том, что маятники при движении описывали дугу окружности. Понять суть этой проблемы очень просто: достаточно бросить шарик внутрь полусферы и понаблюдать за его траекторией. Вы увидите, как размах колебаний шарика будет постепенно сокращаться, пока он не остановится (как если бы в часах кончилась веревка). Очевидно, что чем меньше высота, с которой падает шарик, тем меньше времени ему потребуется, чтобы достичь центра полусферы (именно поэтому часы спешат).

* * *

ЛЮБОПЫТНАЯ ИГРА

Представьте, что мы перевернули циклоиду и придали ей вращательное движение. Мы получим поверхность, образующей которой является циклоида. Это равносильно тому, как если бы мы попросили гончара изготовить чашку, форму которой определяла бы циклоида. Такие чашки, сделанные из пластика, продавали в 60-е годы в магазинах любопытных вещиц в США. Чем же примечательна подобная чашка? Если мы положим внутрь нее шарик и отпустим его, он достигнет дна за одно и то же время вне зависимости от того, с какой высоты будет скатываться. Интересно понаблюдать, как два шарика, один из которых расположен на самом краю чашки, а второй — на полпути ко дну, достигают дна одновременно.