Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

При свободном падении как из точки А, так и из точки А'предмет достигнет точки Вза одно и то же время.

* * *

Мерсенн посвятил изучению циклоиды много лет. Он опубликовал результаты в различных трудах: «Известные вопросы Книги Бытия» (1623), «Синопсис математики» (1626) и «Вопросы теологии, физики, морали и математики» (1634). Как и всегда, в письмах он сообщал полученные результаты и вопросы, на которые ему удалось найти ответы. Торричелли, Ферма, Декарт, Роберваль верно вычислили, что площадь под аркой циклоиды равна утроенной площади порождающего круга циклоиды. Роберваль и Рен определили, что длина арки в восемь раз превышает ее радиус. Какие красивые ответы на столь простые вопросы! И сколько вычислений потребовалось, чтобы найти эти несложные на вид ответы!

Благодаря новой организации работы, предложенной Мерсенном, к решению интересных задач приглашались все талантливые ученые. Найденные решения были не плодами труда одиночек-затворников, а, напротив, результатом взаимодействия и обмена идеями. История науки знает множество примеров, когда формулы и теории получали имя своих первооткрывателей. Но в этой новой среде достижения часто были результатом коллективного труда. Кто мог представить, что эта красивая кривая, которую впервые описал Галилей как движение точки окружности при качении вдоль прямой, спустя много лет окажется решением задачи о брахистохроне и таутохроне, и что Жерар Дезарг предложит придать зубцам часовых механизмов именно форму циклоиды!

Понте ди Меццов Пизе, спроектированный учениками Галилея. Его арки имеют форму циклоиды. Мост был разрушен в 1944 году.

Роберваль и Мерсенн заинтересовались результатами Ферма относительно максимумов и минимумов. Задачи, которые предлагал Ферма (равно как и ответы на них), были не случайны — при их решении использовались методы, неизвестные другим математикам той эпохи. Они поняли, что Ферма значительно опередил современников в решении задач о максимумах и минимумах, и попросили его объяснить методы, которые он использовал. Ответ не заставил себя долго ждать. Ферма отправил Мерсенну и Робервалю три текста («Методы нахождения максимумов и минимумов и построения касательных к кривым», «О плоских и телесных местах» и труд Аполлония «Плоские места» в двух книгах), чтобы их оценили парижские математики. Так Ферма стал известен как математик первой величины.

В своем «Методе максимумов и минимумов» Ферма отметил, что в точке максимума функции прямая, параллельная оси абсцисс, касается графика этой функции только в одной точке. Он также отметил, что в точках, очень близких к точке максимума, прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график этой функции в двух близких точках справа и слева от точки максимума.

Следовательно, значение функции в точке экстремума f( а ) и значение, очень близкое к нему, f( а + е ), где е — очень малая величина, практически одинаковы, следовательно, согласно Ферма, их можно «приравнять». В результате получим уравнение, исключив из которого величину е (так как она очень мала) мы сможем рассчитать а .

Рассмотрим пример. Пусть дана функция f( х ) = х 2. Ее график представлен на рисунке ниже.

Пусть нужно вычислить минимум этой функции, f( а ) = а 2. Для этого рассмотрим значение, очень близкое к нему: f( а + е ) = ( а + е ) 2= а 2+ 2 ае + е 2. «Приравняем» их, то есть поставим между этими выражениями знак равенства: а 2= а 2 + 2 ае + е 2. На следующем шаге решим полученное уравнение. Вычтя а 2 из обеих частей равенства, получим 2 ае + е 2= 0, откуда, сократив на е , получим 2 а + е = 0.

Наконец, будем считать е столь близким к 0, что им можно пренебречь. Имеем 2 а = 0, следовательно, а = 0 — это корректная точка минимума данной функции.

Как можно видеть, после «приравнивания» мы получили уравнение, равносильное равенству нулю производной этой функции. Но в те времена не было известно ни о вычислении производных, ни о нахождении пределов функций. Поэтому не удивительно, что некоторые математики признавали этот метод лишь с оговорками. Но в этом случае Ферма проявил потрясающую интуицию. Он выглядел фокусником, который умело манипулирует алгебраическими выражениями и в итоге непостижимым образом получает желаемый результат.