Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

В шульба-сутре Апастамбы приводились точные указания по постройке этого алтаря. Джордж Гевергезе Джозеф изложил эти указания в современной нотации так:

Используя веревку, отметьте ХY длиной ровно 36 пад.

Отметьте на этой линии точки Р, Q и R такие, что ХР, XR и XQ равны 5, 28 и 35 пад соответственно.

Проведите перпендикуляры в точках X и Y .

Зная, что треугольники АРХ, DPX, BRY и CRY прямоугольные, а их стороны выражены целыми числами, определите положение точек А, В, С и D . Иными словами, длина AXD должна составлять 24 пады, длина ВYС — 30 пад. Если построение верно, отрезки АС и BD должны пересекать ХY в одной точке О .

АХ = XD = 12 пад

BY = YC = 15 пад

ХР = 5 пад

PR = 23 пады

RQ = 7 пад

QY = 1 пада

ХY = 36 пад

Размеры алтаря смасана

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф«Павлиний хохолок»)

Получим следующие пифагоровы тройки:

ΔАРХ и ΔDPX имеют стороны 5, 12, 13.

ΔАОХ и ΔDOX имеют стороны 12, 16, 20.

ΔAQX и ΔDQX имеют стороны 12, 35, 37.

ΔBRY и ΔCRY имеют стороны 8, 15, 17.

ΔBOY и ΔCOY имеют стороны 15, 20, 25.

ΔВХУ и ΔСХУ имеют стороны 15, 36, 39.

Так как стороны этих треугольников выражены целыми числами, их можно было отмерить с удивительной точностью. Если этого было недостаточно, сама конструкция содержала множество дополнительных пифагоровых троек, которые помогали еще больше повысить точность. Так пифагоровы тройки оказались на службе технологий. Это удивительно и красиво. Конечно, было известно множество других троек, которые также использовались при сооружении разных алтарей.

Поэтому очевидно, что ведической цивилизации была прекрасно известна теорема Пифагора. Она обычно использовалась в задачах вида «объединить два равных или неравных квадрата и получить третий квадрат». С ее помощью можно было построить алтарь, по площади равный двум другим. Решение задачи такого типа приведено в шульба-сутрах. В современной нотации оно выглядит так:

Пусть нужно объединить два квадрата — ABCD и PQRS .

Пусть DX = SR .

Следовательно, площадь квадрата со стороной АХ будет равна сумме площадей квадратов ABCD и PQRS .

На рисунке ясно видно построение, описанное в тексте. В нем явно используется теорема Пифагора: AD 2+ SR 2= АХ 2

(источник: Джордж Гевергезе Джозеф«Павлиний хохолок»)

Вне всяких сомнений, еще в незапамятные времена люди чувствовали красоту арифметики и геометрии. С самого начала им стало понятно, что все фигуры делятся на криволинейные и прямолинейные. Прямоугольные треугольники быстро заняли привилегированное место среди прочих фигур. Два прямоугольных треугольника можно получить, если разделить прямоугольник пополам его диагональю. Привилегированное место в арифметике заняли натуральные числа, которые использовались при счете. В какой-то момент стало понятно, что можно строить прямоугольные треугольники, длины всех сторон которых выражены целыми числами. Открытие равенства суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы было особенным.

Было найдено удивительное и замечательное свойство удивительной и замечательной фигуры, красота, свойственная прямоугольным треугольникам, о которой стоило рассказать потомкам. Пифагор во время одного из своих путешествий в Египет или Месопотамию узнал об этом свойстве и восхитился им, как восхищаемся этим свойством и мы. Он также привел доказательство этого свойства. Быть может, его доказательство было первым, а может быть, и нет. В любом случае Пифагор прочувствовал красоту чисел и фигур и подтвердил, что мир строится по математическим законам. До сих пор неизвестно, кто именно открыл эту теорему и когда.

Наиболее вероятно, что не существует ни какой-то конкретной даты, ни конкретного имени. Возможно, эта теорема была несколько раз открыта повторно в разных культурах. Как бы то ни было, она служит воплощением математической красоты. Наверное, называть эту теорему именем Пифагора будет лучше всего.