Хавьер Арбонес - Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Приведем пример для четырех артикуляций ( а = 4) и двух голосов ( v = 2).

Смещение равно a / v = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:

1100

1001

Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть, что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом случае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:

Во втором случае так:

Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями, исполняемыми в 3 голоса, то

то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.

Возьмем за основу следующую структуру:

0000 0000 0000.

Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встречалась ровно один раз:

1000 0100 0011.

Чтобы избежать удвоенных ударов (несколько единиц в одном столбце) необходимо выполнить смещение на величину а / v , которая в нашем случае равняется 4.

* * *

ЗАМОЩЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ

Замощение — это равномерное расположение фигур, покрывающих плоскость. В качестве простого примера можно привести тротуарную плитку или кафель в ванной. При замощении должны отсутствовать пробелы и наложения фигур. Квадрат и правильный шестиугольник — примеры простейших геометрических фигур, покрывающих плоскость. Однако при замощении могут использоваться и неправильные фигуры. В пример можно привести улицы Каира. Схема их замощения представлена на рисунке, справа внизу — соответствующее трехмерное изображение.

* * *

Акцент и размер такта

В музыкальных композициях сильные доли чередуются со слабыми. В нотной записи сильные ноты формируют структуру композиции: с каждой сильной доли начинается такт, который длится до следующей сильной доли. Таким образом, такт — это совокупность нот и пауз между соседними сильными долями. Такты равномерного музыкального произведения имеют одинаковую длину и те же свойства. Благодаря этой равномерности достаточно определить параметры такта один раз в начале композиции.

Виды тактов

Доли такта могут делиться на две или три части. Такт обозначается дробью, которая может быть правильной (для простых тактов) и неправильной (для сложных). В числителе дроби отмечается количество долей, в знаменателе — число, означающее длительность долей. Например, целой ноте соответствует единица, половинной — 2, четвертной — 4 и так далее. В простом такте знаменатель указывает относительную длительность ноты такта. В сложном такте знаменатель обозначает используемое ритмическое деление. Чаще всего применяются четвертная нота (она равна восьмой ноте и восьмой паузе; здесь используется ритмическое деление на две части) и четвертная нота с точкой (она равна восьмой ноте и двум паузам подряд; здесь мы видим ритмическое деление на три части).

Рассмотрим несколько примеров. Простой такт из двух долей длительностью в четвертную ноту, , обозначается дробью 2/4.

Число 2 обозначает количество долей, число 4 указывает, что доля имеет длительность в четвертную ноту. Сложный двухдольный такт будет образован двумя долями длительностью в четвертную ноту с точкой:

Возникает проблема: четвертной ноте с точкой не соответствует ни одно число (ни какая-то другая нота с точкой), поэтому длительность этого такта нельзя выразить в знаменателе дроби. Эта проблема решается так: указывается не длительность такта, а число, соответствующее ритмическому делению доли. В нашем примере четвертная нота с точкой ритмически делится на восьмую ноту и две восьмые паузы. Такт состоит из двух четвертных нот с точкой, следовательно, он будет состоять в сумме из шести восьмых нот и пауз и обозначаться дробью 6/8.