Клауди Альсина - Том 11. Карты метро и нейронные сети. Теория графов

Магические звезды

Магические звезды — удивительная игра из области занимательной комбинаторики, в которой смешались графы и числа.

На рисунке изображена пятиугольная звезда — символ школы пифагорейцев. Десять ее вершин обозначены кругами. Можно ли расположить в вершинах звезды числа от 1 до 10 так, чтобы сумма чисел во всех рядах из четырех вершин была одинаковой? Эта сумма чисел называется магической константой. Попробуйте решить задачу, прежде чем продолжить чтение. Чему равна магическая константа для пятиугольной звезды?

Не получается? Не беспокойтесь. Вам не удается найти решение, потому что его не существует. Обратите внимание, что сумма чисел от 1 до 10 равна 55. Так как каждое число находится в двух линиях звезды, общая сумма чисел на всех линиях будет в два раза больше, чем 55, то есть 110. Следовательно, магическая константа должна равняться 110/5, то есть 22. Остается распределить числа так, чтобы их сумма в каждом ряду равнялась 22.

Иан Ричардс заметил: каждая из линий, в одной из вершин которой находится число 1, должна содержать, помимо единицы, еще три числа, которые в сумме дают 21. Следовательно, сумма чисел на двух этих линиях равна 42, поэтому 10 должно находиться в одном ряду с 1 (шесть чисел, среди которых нет 10, в сумме могут давать максимум 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 39). Пусть А — линия, на которой находятся 1 и 10, В — другая линия с вершиной 1, С — другая линия с вершиной 10. Тогда числа на линии А можно расположить четырьмя возможными способами. Если на одной из линий будут располагаться 1, 10, 4, 7, то поместить числа на В и С будет невозможно. Следовательно, остаются три случая:

Магическая гексаграмма

Рассмотрим магическую гексаграмму. Гексаграмма — это знаменитая и легендарная Звезда Давида и Печать Соломона, образуемая наложением двух равносторонних треугольников друг на друга.

Как видно на рисунке, эта фигура имеет 12 вершин, расположенных в шесть рядов по четыре вершины, поэтому в этой задаче нужно присвоить вершинам числа от 1 до 12. Так как сумма чисел от 1 до 12 равна 78, магическая константа будет равна 78·2/6, то есть 26. Сосредоточьтесь, приготовьте карандаш и найдите одно из нескольких десятков решений этой задачи. В конце главы (стр. 122) приведено одно из возможных решений.

Если вам понравилось решать задачи с магическими звездами, попробуйте найти одно из множества возможных решений для семиконечной или восьмиконечной звезды.

Более простой альтернативой этой задаче, для которой существует строгий алгоритм решения, являются магические окружности — несколько окружностей, в точках пересечения которых нужно расположить числа так, чтобы сумма чисел на каждой окружности была одинаковой, например 20. На следующем рисунке изображены три окружности, точки пересечения которых обозначены буквами а, b, с, d, р, q . Можно записать соотношения, которые должны выполняться для чисел, соответствующих этим вершинам.

Получим систему уравнений:

a + b + c + d = 20,

с + d + р + q = 20,

а + Ь + р + q = 20.

Сложив все три уравнения, получим:

2 а + 2 Ь + 2 с + 2 d + 2 р + 2 q = 60,

или, что аналогично,

a + b + c + d + q = 30.

Вычтем из последнего равенства все три исходных равенства и получим:

a + b = c + d = p + q = 10.

Следовательно, существует множество различных вариантов, например:

а = 1, Ь = 9, с = 2, d = 8, р = 3, q = 7.

* * *

ТЕОРИЯ ИГР

Теория игр была создана Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном с целью разработки новых моделей для решения экономических задач. Развитие этой теории позволило использовать ее не только в экономике, но и в социологии, политике, маркетинге, финансах, психологии и других областях.

Изначально создатели теории игр полагали, что «типичные задачи, в которых рассматривается экономическое поведение, полностью идентичны математическому представлению соответствующих стратегических игр». На основе этого сравнения стало возможным проанализировать игры для одного и нескольких игроков, ввести понятие функции полезности, изучить стратегии различных типов (консервативные, выигрышные и другие), коалиции и голосования, вероятностный анализ и анализ случайных процессов и так далее.