Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Более того, в дифференциальной геометрии, которая носит более общий характер, чем математическая картография (в дифференциальной геометрии рассматриваются произвольные поверхности), в силу Teorema Egregium кривизна Гаусса препятствует построению изометрии двух поверхностей. Если использовать термины картографии, для построения карты одной поверхности на другой необходимо, чтобы кривизна Гаусса для обеих поверхностей была одинаковой. Ключевой вопрос, связанный с теоремой Гаусса, таков: является ли полученный нами результат не только необходимым, но и достаточным? Иными словами, будут ли изометричными, как минимум локально, две поверхности с одинаковой кривизной Гаусса? Российский математик немецкого происхождения Фердинанд Миндинг(1806–1885) , который провел обширные исследования в области дифференциальной геометрии поверхностей, доказал, что если две поверхности имеют одинаковую кривизну Гаусса и она одинакова для всей поверхности, то для этих поверхностей существует локальная изометрия. Так как кривизна Гаусса для цилиндра (или конуса) постоянна, а кривизна Гаусса для плоскости равна нулю, эти поверхности локально изометричны. Однако если кривизна Гаусса не является постоянной, утверждение, доказанное Миндингом, не выполняется.

Рассмотренную выше формулу суммы углов сферического треугольника можно обобщить для произвольной поверхности, что доказал Гаусс, связав изменение углов геодезического треугольника относительно π с кривизной Гаусса:

Формулу суммы углов треугольника на плоскости или на поверхности сферы можно обобщить для любой поверхности. Это так называемая формула Гаусса— Бонне, в которой используется кривизна Гаусса.

Разумеется, приведенная выше формула выполняется для сферы радиуса R . Так как кривизна Гаусса для этой сферы равна 1/ R 2, имеем

Однако мы определили две кривизны, поэтому возникает вопрос: каков же смысл средней кривизны? Отношения поверхности и окружающего ее трехмерного пространства рассматриваются во внешней геометрии поверхности. Характеристикой кривизны поверхности в трехмерном пространстве и будет средняя кривизна.

Составить точную карту Земли невозможно. Наиболее точное представление о нашей планете дает глобус, сохраняющий все интересующие нас метрические свойства с учетом коэффициента масштаба. Единственное искажение на глобусе — это коэффициент масштаба, неизменный во всех его точках. В этой модели мы смело можем прокладывать морские и воздушные маршруты, так как румбы и расстояния на глобусе сохраняются. Для определения расстояния между двумя точками земной поверхности, например между двумя городами, нужно построить на глобусе большой круг (это нетрудно сделать с помощью натянутой веревки), затем измерить длину веревки и, наконец, вычислить реальное расстояние с помощью коэффициента масштаба. Аналогично на глобусе можно измерить и другие величины, при этом результат будет точнее, чем при использовании плоской карты. Ошибки измерений на глобусе будут вызваны неточностями, допущенными при измерениях, а не погрешностями, внесенными при изготовлении самого глобуса (при условии, что он был построен правильно). Однако, как вы увидите далее, построить глобус сложно, и при этом все же возникают ошибки.

Современный глобус.

* * *

ИСТОРИЯ ГЛОБУСОВ

Первые глобусы создали греки, которым было известно, что Земля имеет сферическую форму. Первый глобус, о котором сохранились документальные упоминания, был сконструирован грамматиком и философом-стоиком Кратетом Малльским около 150 года до н. э. В то время Америка, Австралия и часть Африканского континента еще не были открыты, и на глобусе были изображены четыре части суши, из которых известной (ойкуменой) была всего одна. Глобусы Земли и звездного неба создавали и использовали греки, римляне и, позднее, арабы.

Первый глобус Земли, дошедший до наших дней, создал немецкий географ Мартин Бехайм в 1492 году. Эпоха Возрождения стала золотым веком в изготовлении глобусов. Немецкий картограф Мартин Вальдземюллер(ок. 1470 — ок. 1520) совершил прорыв в массовом изготовлении глобусов: он первым использовал отпечатанную развертку глобуса.