Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Наконец, вычислим искомое соотношение плеч рычага. Чтобы читатель смог лучше понять эстетику этих рассуждений, напомним ему фразу Эмиля Шартье (Алена): «Прекрасное не доставляет удовольствие или неудовольствие — оно заставляет нас задержаться». Подробные рассуждения выглядят следующим образом.

Архимед счел, что треугольник BDC образован множеством отрезков XT , параллельных оси параболы (или стороне треугольника BD ), а сегмент параболы BVC образован множеством прямых отрезков ХР , параллельных оси параболы, как показано на следующем рисунке. Представление геометрической фигуры в виде множества отрезков было чем-то доселе невиданным в математике. В следующий раз этот метод был применен в XVII веке, спустя почти две тысячи лет.

Далее Архимед сравнил отрезки, из которых состояли рассматриваемые фигуры, с помощью рычага. Плечо рычага будет располагаться вдоль прямой, соединяющей вершину треугольника С с вершиной параболы V , а точкой опоры рычага будет точка F — точка пересечения плеча рычага и стороны BD треугольника. Левый конец рычага Е i будет располагаться в одной точке и находиться на том же расстоянии от точки F , что и вершина С треугольника. Иными словами, длины отрезков E iF и FC равны. Положение правого конца рычага E d будет изменяться. Его определит пересечение плеча рычага с одним из отрезков, образующих треугольник.

Следовательно, если мы перенесем отрезок, образующий параболу, к левому концу рычага E i , при этом на правом конце рычага E d положение отрезка, образующего треугольник, останется неизменным (как показано на рисунке ниже),

рычаг будет находиться в равновесии.

Следовательно, при рассмотрении параболы как совокупности отрезков Архимеду удалось сбалансировать на разных концах рычага параболу (ее центр тяжести совпадает с точкой E i ) и треугольник, центр тяжести которого, точка G , совпадает с правым концом рычага.

Согласно правилу рычага, соотношение площадей параболы и треугольника обратно пропорционально отношению плеч рычага, на которых располагаются парабола и треугольник. Это соотношение равно одной третьей, что объясняется на следующей странице. Следовательно, площадь сегмента параболы BVC равна одной трети площади треугольника BDC .

* * *

ПРОПОРЦИЯ И РАВНОВЕСИЕ

Рассмотрим подробнее, почему соотношение плеч рычага, на котором уравновешены треугольник и парабола, равно одной третьей. В силу особенностей построения левое плечо рычага E iFравно отрезку FC, а правое плечо рычага — это отрезок FG. Центр тяжести треугольника — это точка пересечения его медиан (прямых, соединяющих вершины треугольника с центрами противоположных сторон). Центр тяжести делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины. Так как FC— медиана треугольника (этот отрезок соединяет вершину Си середину стороны В), длина отрезка FGбудет равна одной трети длины отрезка FC.

* * *

Рассуждения Архимеда, позволившие ему вычислить квадратуру параболы, помогут нам ответить на непростой вопрос: можно ли назвать ученого творцом? Толчком к этой полемике стали размышления об эстетике.

Большинство, возможно, полагает, что термин «творец» неприменим к ученым в целом и математикам в частности. К примеру, Фернандо Саватер в «Вопросах жизни» писал: «Творец — тот, кто создает что-то, что без него никогда не появилось бы на свет, тот, кто привносит в мир что-то, что без него никогда не могло бы существовать именно в таком виде, а не в другом, более или менее похожем». Так, Александр Флеминг не «изобрел» пенициллин, а открыл его: «Если бы он не открыл пенициллин, рано или поздно другой мудрец открыл бы лечебные свойства этого чудесного грибка. Напротив, если бы Моцарт или Сервантес умерли бы в младенчестве, никто бы не написал «Волшебную флейту» и не рассказал бы историю Дон Кихота». С философом Саватером согласны и другие ученые, например лауреат Нобелевской премии по медицине Франсуа Жакоб.