Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Гравюра, посвященная легендарному изобретению Архимеда — зажигательным зеркалам, с помощью которых он сжег вражеские корабли при осаде Сиракуз.

Точнее говоря, Архимед, разумеется, знал, что зеркало в форме параболоида вращения фокусирует солнечные лучи в определенной точке, называемой фокусом. Для тех читателей, кто не знаком с параболоидом вращения, укажем, что это поверхность, получаемая вращением параболы вокруг оси.

Архимед доказал несколько удивительных утверждений о параболах. Одно из них, касающееся квадратуры параболы, мы используем в качестве примера, показывающего, как гармоничное сочетание математических идей рождает красоту в математике.

Квадратура параболы

Парабола входит в число конических сечений, то есть кривых, получаемых сечением конуса плоскостью. В зависимости от расположения этой плоскости сечением конуса будет окружность, эллипс, гипербола или парабола. Последнюю мы получим, когда секущая плоскость расположена параллельно образующей конуса.

Полное фото семейства: конус и его отпрыски.

Греки попытались решить задачу о квадратуре для областей, ограниченных каждой из этих кривых, с помощью циркуля и линейки. В случае с окружностью и эллипсом они потерпели неудачу, так как для вычисления искомой квадратуры требовалось знать точное значение числа π . Неудача постигла их и при вычислении квадратуры гиперболы, так как для этого требовалось рассчитать логарифмы. Однако им удалось квадратуру параболы — это сделал Архимед тремя разными способами, один удивительнее другого. Рассуждения Архимеда изложены в его труде под названием «Метод» — об удивительной истории этой книги мы расскажем позже.

Парабола может быть определена не только как коническое сечение, но и следующим способом. Допустим, дан угол с вершиной в точке А , образованный сторонами АВ и АС . Обозначим через r соотношение длин этих сторон: r = АВ / АС . Предлагаем читателю выбрать произвольную точку на отрезке АС . Она будет располагаться на некотором расстоянии от вершины А (обозначим его через d ). Соедините эту точку с точкой отрезка АВ , находящейся на расстоянии d · r от В . Если вы проведете это построение для всех точек стороны АС , построенные отрезки будут описывать кривую, являющуюся частью параболы. Эта кривая изображена на следующем рисунке: слева показаны несколько точек отрезка АС , соединенные с соответствующими точками отрезка АВ , справа — парабола, описанная этими отрезками.

Осью этой части параболы будет прямая, соединяющая точку А с серединой отрезка ВС . Точка V , где ось пересекает параболу, называется вершиной.

Парабола, ее ось и вершина.

Рассмотрим сегмент параболы BVC с вершиной в точке V .

На этом сегменте параболы мы построим треугольник с вершинами D, В и С : сторона DB будет параллельной оси сегмента параболы и пройдет через точку В , а сторона DC будет касаться параболы в точке С .

Архимед доказал, что площадь сегмента параболы BVC равна одной третьей площади треугольника BDC . Ключевым элементом его рассуждений стало умелое использование рычага. Чтобы читателю было проще понять, приведем схему рассуждений в общем виде. Сначала мы представим треугольник и сегмент параболы в виде совокупностей отрезков прямых, затем вставим в геометрическую фигуру рычаг — он позволит нам сравнить отрезки, на которые мы разделили обе фигуры. Затем вновь составим из этих отрезков треугольник и параболу, которые будут находиться в равновесии на концах рычага. Согласно правилу рычага, площади треугольника и параболы будут обратно пропорциональны плечам рычага, уравновешивающего их.