Хоакин Наварро - Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики

Подчеркиваем: не очень сложно, а именно невозможно.

Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной.

Если d = a / b , то очевидно, что мы можем выбрать а и Ь так, что они будут взаимно простыми. Достаточно сократить дробь а / b . Теперь рассмотрим самый простой случай — квадрат с единичной стороной. Теорема Пифагора гласит, что d 2= 1 2+ 1 2= 1 + 1 = 2, то есть ( а / b ) 2= 2, или, если вы предпочитаете иной способ записи, а 2= 2 Ь 2.

Рассмотрим а подробнее. Если а четное, то b обязательно должно быть нечетным, так как мы предположили, что а и b взаимно простые. Так как а = 2 р , предыдущее равенство примет вид (2 р ) 2= 4 р 2= 2 b 2, следовательно, 2 р 2= Ь 2, откуда следует, что b 2(а следовательно, и Ь ) четное. Но это невозможно, так как мы уже показали, что b должно быть нечетным.

Теперь предположим, что а нечетное. Тогда нечетным будет и a 2. Однако а 2= 2 Ь 2, и это означает, что а 2четное, что противоречит нашей предпосылке. Как видите, получается нечто немыслимое, и первым это доказал пифагореец Гиппас.

Как известно, лучшее, что можно сделать, получив дурную весть, — это убить гонца. Ямвлих Халкидский восемь веков спустя утверждал, что пифагорейцы построили склеп, где должен будет упокоиться тот, кто откроет несоизмеримые величины. Существует несколько версий гибели Гиппаса. В самой милосердной версии он даже не упоминается и говорится лишь о том, что пифагорейцы принесли в жертву сто быков — столь велико было удивление, которое вызывали несоизмеримые величины. Так как пифагорейцы были вегетарианцами, эта гекатомба (что по-гречески и означает «сто быков») кажется возможной, но не слишком вероятной. В другой версии легенды Гиппас всего лишь был изгнан из пифагорейской школы. И в самом жестоком варианте он был сброшен в море с борта корабля. Как бы то ни было, вера пифагорейцев в истинность своего учения оставалась непоколебимой. Лишь Евдокс Книдский, открыв вещественные числа, смог разрешить загадку несоизмеримых величин.

Одно из первых упоминаний о нумерологии в истории западной цивилизации содержится в 21-й главе Евангелия от Иоанна, где рассказывается о чуде в море Тивериадском, свидетелем которому стал Симон Петр, поймавший в сеть за один раз 153 рыбы. Разумеется, это чудо сотворил Иисус Христос.

Число 153 непременно должно обладать какими-то особыми свойствами. Действительно, это треугольное число. Читатель может сосчитать звездочки на рисунке и убедиться, что их действительно 153:

Однако этой причины недостаточно для упоминания в Евангелии. Рассмотрим равенства:

Мы видим, что 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153, как показано на схеме:

Это уже лучше, однако и теперь найдутся неверующие, для которых и этой причины недостаточно, чтобы считать 153 божественным числом. В поисках лучше го решения будем действовать так: поскольку Бог един в трех лицах, рассмотрим любое число, кратное 3, например 1728, возведем все его цифры в третью степень и сложим их:

1 3+ 7 3+ 2 3+ 8 3= 864

8 3+ 6 3+ 4 3= 792

7 3+ 9 3+ 2 3= 1080

1 3+ 0 3+ 8 3+ 0 3= 513

5 3+ 1 3+ 3 3= 153

Удивительно, что ряд будет заканчиваться числом 153 для любого числа, кратного трем. Что это — чудо или занимательная математика?

Именно так считали в эпоху Возрождения. В 1456 году было изобретено книгопечатание, и путь к знаниям был открыт — для многих, но далеко не для всех, особенно если смотреть в прошлое из нашего благополучного XXI века. Вопреки ожиданиям, первой печатной книгой по математике были не «Начала» Евклида, подлинный памятник античной мудрости, а учебник по элементарной арифметике, отпечатанный в Тревизо под названием L’arte de l’abbacho («Искусство абака»). Автор книги ограничился объяснениями четырех арифметических действий и задачами о справедливом разделе вещей. Книга увидела свет в 1478 году. В ней использовались индоарабские цифры.