Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты

Эта фигура названа в честь Феликса Клейна, одного из величайших немецких математиков XIX столетия. По всей вероятности, судьба Клейна была предопределена еще в момент его появления на свет, поскольку каждый элемент даты его рождения (25 апреля 1849 года) представляет собой квадрат простого числа:

Клейн занимался исследованиями в разных областях, но самой знаменитой является его так называемая бутылка Клейна. Как и в случае ленты Мебиуса, вам будет легче понять форму и структуру бутылки Клейна, если вы сами сконструируете ее модель. Вам понадобятся:

1) лист резины;

2) скотч;

3) четвертое измерение.

Если у вас, так же как и у меня, нет доступа к четвертому измерению, тогда попробуйте себе представить, как теоретически построить псевдобутылку Клейна в трех измерениях. Сначала представьте, что вы скручиваете лист резины в цилиндр и склеиваете его скотчем по длине, как показано на первом рисунке ниже. Затем отметьте два конца цилиндра стрелками, указывающими в противоположных направлениях. Далее (и это самый сложный этап) цилиндр необходимо изогнуть таким образом, чтобы можно было соединить два его конца со стрелками, указывающими в одном направлении.

Именно здесь пригодилось бы четвертое измерение, но вместо этого вам придется проявить смекалку. Как показано на двух средних рисунках, необходимо изогнуть цилиндр, а затем представить себе, что вы просовываете один его конец через отверстие в его же стенке и разворачиваете его внутри вверх. И наконец, после этого самопересечения заверните выступающий конец цилиндра вниз (как показано на четвертом рисунке), для того чтобы соединить два конца цилиндра. Важно, чтобы после такого соединения стрелки на каждом конце цилиндра указывали в одном направлении.

И бутылка Клейна, и бутылка пива Klein’s в «Футураме» – это самопересекающиеся фигуры, поскольку они существуют в трехмерном пространстве. Напротив, в четырехмерном мире бутылке Клейна нет необходимости пересекаться с самой собой. Для того чтобы объяснить, как дополнительное измерение позволяет избежать самопересечения, давайте рассмотрим аналогичную ситуацию с участием меньшего количества измерений.

Вообразите фигуру в форме восьмерки, нарисованную ручкой на бумаге. В этом случае чернильная линия неизбежно пересечет сама себя в центре восьмерки, подобно тому как цилиндр пересекает сам себя посредине бутылки Клейна. Такое пересечение имеет место потому, что линия расположена в двумерной плоскости. Однако эта проблема не возникнет, если добавить третье измерение и сделать восьмерку из куска веревки. Один ее фрагмент можно поднять в третье измерение, поскольку он накрывает второй фрагмент веревки, а значит, ей нет необходимости пересекаться с самой собой. Следовательно, если бы цилиндр из резинового листа можно было переместить в четвертое измерение, то появилась бы возможность сконструировать бутылку Клейна без самопересечения.

Еще один способ понять, почему бутылка Клейна пересекает сама себя в трехмерном пространстве, но не пересекает в четырехмерном, сводится к сравнению нашего восприятия ветряной мельницы в трех и двух измерениях. В трехмерном измерении мы видим, как лопасти ветряной мельницы вращаются перед вертикальной башней. Однако ситуация меняется, если взглянуть на тень ветряной мельницы на траве. В этом двумерном представлении лопасти как будто проносятся сквозь башню снова и снова. В двумерной проекции они пересекают башню, чего не происходит в трехмерном мире.

Очевидно, что форма бутылки Клейна отличается от формы обычной бутылки, что, в свою очередь, указывает на одно удивительное свойство бутылки Клейна, которое становится очевидным, если мы представим, что перемещаемся по поверхности бутылки Клейна, как показано на рисунке ниже. В частности, вообразите, что вы движетесь в направлении, которое указывает черная стрелка, расположенная на внешней поверхности бутылки Клейна.

Стрелка перемещается вверх, затем поворачивает вокруг внешней поверхности горлышка бутылки и уходит за точку пересечения, где конец стрелки становится серым. Это говорит о том, что теперь она проходит по внутренней поверхности бутылки. Переместившись вперед, стрелка возвращается в исходную точку, за исключением того, что теперь она находится внутри бутылки. Если стрелка продолжит свое путешествие вверх, к горлышку бутылки, и снова вниз, к основанию, то она вернется на внешнюю поверхность и в конце концов выйдет на исходную позицию. То, что стрелка может без отрыва перемещаться между внутренней и внешней поверхностью бутылки Клейна, означает, что на самом деле обе поверхности представляют собой фрагменты одной и той же поверхности.